Раздел: Документация

0 ... 17 18 19 20 21 22 23 ... 162

Обозначим х~хг через /.Тогда, применяя теорему 3.1, получаем: [(АуУ • ГАх -с)т]= утАт(Ах-с) = f((AJ А)х*Атс) =

= f((AU)(AUr\ATc)-ATt)=?(E(ATC)-A4)=yr(ATc-ATe=)0, т.е. {АуУ и (Ах -с)т ортогональны. Из равенства Ау - АХ - Ах вытекает, что Ах-с--Ау"+(Ах"-с). Используя теорему 1.1 и ортогональность векторов (АуУ и (Ахполучаем:

\(Ах-с У\2 = [(Ау+(Ах* -с)У ( Ау + (Ах - с) У] = [( Ау )т-( Ау )}+ +[(Ау У (Ах-с)г] + [ (Ах - д)г (Ау )т] + (Ах-ёу \2 =

=\(АуУ\г+\(Ах -сУ\г>\(Ах* -с)т\2.

Поскольку х* Х , то \(Ay)Tf может равняться нулю только в случае линейной зависимости столбцов матрицы А. Так как столбцы этой матрицы независимы, то \( АуУ \2 > 0. Отсюда следует последнее неравенство. Теорема доказана.

Задачи

для самостоятельного решения

В задачах П8.1 -П8.21 необходимо найти вектор хе R2, имеющий минимальный модуль ошибки г(х*, А, Сс) среди других векторов пространства R2.

П8.1. /Г

П8.2. Лт

П8.3. /Г

П8.4. Лт =

П8.5. Ат =

П8.6. Лт

11 1 l~j т , 2 5-32/ С

10 10

23-12

1 0 -1 Г

32-11

1 0 2 4] с7 = [l 0 1 0] ст =[2 1 -1 2]

1- 2 1 Г т

I , с = [3 0 4 II

20 3 1]

11 "], ст=[\ -1 1 -1]

23 2 -3

10-10

2 1 -13]

П8.7. Лт

П8.8. А7

П8.9. А7

П8.1О. А =

П8.П. Ат

П8.12. Л

П8.13. Л

П8.14. А7

П8.15. АЛ

П8.16. А7 =

П8.18.

П8.19. А7

П8.20. А

1 2 -1 -13 2

= [l 3 2]

2 -1 1 2] т г1

I , ст = 1 -2 3 -I

4 0 3 4

-3141

.0 2 0 - 2.

"4 -1 2 1" 1 -2-3 1

-1 2-2 2

0-1-2 1

-1 4]

12 3 4

4 2 3 1

= [0 1 -1 0]

=[l 0 1 -l] с" =[-1 1 2 -2]

с- =

4 12 3

"-1 2 -3 1

-3 ~2 1 -1

1 1 2]

2 -1 -4 3

5 0 1

"3-3 2 1 2

2 4-1-1

c7 =[1 -2-3 i]

= [0 5 -1l]

j , ст =[4 -1 2l]

2 4 - 4 2" 16 6 1

-11-11

ст = [4 6 0 4]

= [2 3 3 2]

	-1 3~
П8.21. А =		, с =

Ответы, указания, решения

П8.21.А элементарными преобразованиями столбцов приводится к сле-

дующему виду:

(\ 0) Г 1 2 -I => 0 -I

v3 ~-i v"1

"1 (Г

°1

(вначале ко второму столбцу прибавляется первый, умноженный на -3; затем второй столбец умножается на 1/4; затем к первому столбцу прибавляется второй, умножен-

ный на 2). Ясно, что

матрице

U-.j

столбцы линейно независимы

(см. задачу Т2.3). Поэтому после добавления новой строки (-1, -2) они таковыми и останутся (см. задачу Т5.4). Следовательно, то же самое верно и для исходной матрицы А (теорема 2.3). Поэтому искомый вектор хможно найти на основании теоремы 8.1:

f1 2 3

3 2 1

( 2\

(Л3Л

10 14

А1 с

12 3

Обратную для D матрицу найдем так же, как и в последнем примере гл. 7:

V 48

.А 48 1

Отсюда искомый вектор равен:

D~\Arc)=

48 48 )

12 1

V 12)

0 ... 17 18 19 20 21 22 23 ... 162