Раздел: Документация
0 ... 20 21 22 23 24 25 26 ... 162 С другой стороны: [йт -(АЬУУ [5т-(а6)т] = а[ат -Ьт ], откуда (а-Х,Д атЬт ] = 0. Но [йт • Ьт ] > О ввиду того, что Ъ > 0, 1 > 0. Поэтому а =?ч, что и требовалось дока- Т9.7. Векторы а и Ь соответствуют максимальному собственному значению ~кА матрицы А (см. задачу Т9.6), т.е. Аа = ~кАа ,А Ь = ХА В. Обозначим через а положительное число, равное наименьшему из чисел - , где a,, t>t - (-е координаты векторов Ъ и b соответственно. Тогда a- atO, причем хотя бы одна координата вектора - равна нулю (согласно выбору а). Но А( a-ab) = А а-аА b - ХА(а- ab), что означает, что a - a - собственный, не являющийся положительным, неотрицательный вектор матрицы А, что будет противоречить утверждению задачи Т9.6, если только а - a ненулевой. Поэтому a-a b = 0Т , что и требовалось доказать. П9.21. Для определения собственных значений матрицы А составим характеристическое уравнение \А ~Х £=0: 1 - А, 4 89 0 0 3-Х 56 7 0 0 2 - Х\ 3 = 0. 0 0 02-Х 1 0 0 00 2-Х Так как определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали, то данное уравнение равносильно уравнению (1 ~А.)(3 -Х)(2 - X)2 ~= 0, откуда получаем три собственных значения А.[ = 1, А.2=3,А.з = 2. Для определения собственных векторов, им соответствующих, необходимо решить три однородные системы линейных уравнений (А - Х,Е)х~=& J = 1, 2, 3. Применим алгоритм метода Гаусса для решения первой из них: Го 4 8 9 0 02567 00113 00011 00001 0 2 0 0 0 0 0 Л 0 0 0 0 0 Л 0 0 0 0 0 Л0 Х2=Хъ=Х*=Х, *, любое число. Итак, все собственные векторы, соответствующие Л.,=1, имеют вид (а, 0, 0, 0, 0)т, где а -любое число. Аналогично устанавли- зать. вается, что (О, а, О, О, О)1 все собственные векторы, соответствующие "Кг-Ъ, где а - любое число. Решим последнюю систему: имеют вид Итак, хиХъ хц,хъ базисные переменные, *3 - свободная переменная: х, =0-12.г, -= -12х} х2 = 0 - 5*;, - -5*, х4 = 0 -Ох, = 0 х, =0-0*3 = 0 Поэтому собственные векторы, соответствующие \3 = 2, имеюх следующий (-12й, -5а, а, 0, 0)т, а -любое число. вид: Глава10  Балансовые модели многоотраслевой экономики Пусть имеется п различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт. Введем следующие обозначения; х, - общий объем произведенной продукции <-й отраслью (валовый выпуск продукции); х,к - объем продукции, произведенной <-й отраслью и потребленный к-й отраслью в процессе производства; >/ -объем продукции /-Й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (конечный продукт, включающий накопления, личное и общественное потребление, экспорт и т.д.); 2* - прибавочная стоимость к-\\ отрасли (часть дохода, идущего на зарплату, амортизацию, инвестиции и т.д.); р, -чдена единицы продукции 1-й отрасли. В этих обозначениях данные о межотраслевом балансе удобно представить в виде таблицы 10.1, где каждая отрасль фигурирует как проичводящая и как потребляющая. Таблица 10.1
Валовая продукция любой отрасли равна сумме конечной продукции данной отрасли и объемов ее продукции, потребляемой другими отраслями, что может быть отражено в следующих балансовых соотношениях: х(х1]+х,2+- + xin)+yi ,/=1.2,(10.1) 0 ... 20 21 22 23 24 25 26 ... 162
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
