Раздел: Документация
0 ... 18 19 20 21 22 23 24 ... 162 Глава 9  find Собственные значения неотрицательных матриц Вначале дадим несколько важных определений. С Определение "г) Будем считать, что матрица или вектор положительны (неотрицательны), если все их элементы положительные (неотрицательные). Запись А > 0 или~х>0 (А > 0 или х> 0) означает, что матрица А или вектор х положительны (неотрицательны). С Определение" Число а называется собственным значением квадратной матрицы А, если существует такой ненулевой вектор-столбец а, для которого: Ненулевой вектор а называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению а (нулевой вектор не считается собственным). Пусть к - некоторая переменная, \А - определитель квадратной матрицы А - кЕ. Уравнение \А -кЕ\ =0 называется характеристическим уравнением матрицы А. Теорема 9.1. Число а является собственным значением квадратной матрицы А, если и только если а - корень ее характеристического уравнения. Доказательство. Поскольку а а=о,Еа*, то условие (9.1) и (А - аЕ)а= 0Т эквивалентны. Число а является собственным значением матрицы А, если и только если однородная система линейных уравненийимеет ненулевое решение. Из следствий 5.3 и 7.1 последнее равносильно равенству нулю определителя матрицы А-аЕ. Теорема доказана. Аа - аа (9.1) С Определен~) Следствие 9.1. Множества собственных значений квадратных матриц А и/Г совпадают. Доказательство см. в задаче T9.I. Следующую теорему Перрона-Фробенкуса приведем без доказательства. Теорема 9.2. Квадратная неотрицательная матрица А имеет неотрицательное действительное собственное значение ХА, и модуль любого собственного значения матрицы А не превосходитназывается максимальным собственным значением матрицы А). Среди собственных векторов, соответствующих \А, имеется неотрицательный вектор. Если А положительна, то ХА превосходит модули всех других собственных значений матрицы А, и среди собственных векторов, соответствующих имеется положительный вектор. Следствие 9.2. Если в квадратной неотрицательной матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то максимальное собственное значение матрицы А равно 1. Доказательство. В силу теоремы 9.2 матрица .4 имеет неотрицательное собственное значение кА, которому соответствует неотрицательный собственный вектор а: Если обозначить через вектор-строку, размерность которой равна порядку А, а все координаты равны 1, то условие о суммах элементов столбцов матрицы А можно записать в виде равенства е А =ё . Умножив обе части этого равенства справа на вектор-столбец а, получим еАа =Та, ё(Кла)=еа, (\-Хл)(ёа=0. Поскольку хотя бы одна координата вектора положительна, то число положительное. Поэтому 1 -ХА = 0,1А = 1. Следствие доказано. С Определение ~*) Неотрицательная квадратная матрица А порядка п называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора-столбца уе R" существует неотрицательный вектор-столбец х е R"такой, что Ах + у = х. Теорема 9.3. Неотрицательная квадратная матрица Л продуктивна, если и только если ее максимальное собственное значение меньше Доказательство. В силу теоремы 9.2 и следствия 9.! матрицы А и А1 имеют неотрицательное собственное значение причем модули других их собственных значений не превосходят и значению соответствует такой неотрицательный вектор 3, что А*а = ХА а. Предположим вначале, что матрица А порядка п продуктивна. Тогда, в частности, для произвольного положительного вектора-столбца е R" найдется такой вектор- столбец х > 0 из R", что Ах + у = х . (Из этого равенства следует, что х > 0 .) Умно- жим обе части этого равенства скалярно на вектор~я : \{Ах+ у)т~ Йт]=Тхт"ат]рт-куда по теореме 1,1 [(Ах)т • ят] + [ут- йт] = [хт- от]. Но (см. задачу Т3.5) [(Ax)1-a1]=[xtAT-aT]=[xr-aTA\=[xT (Ат5)т]= ХА[хт -Зт]. Следовательно, [ут -a7]-!*7. ~ат]~ХА[- Зт] .Согласно выбору, у- положительный вектор, а - неотрицательный ненулевой вектор, поэтому \ут~ат] > 0 По той же причине [хт • йт ] > 0 . Следовательно, 1 - ХА>0. Положим теперь обратное, что \4<1. Покажем, что для произвольного неотрицательного вектора-столбца у е R" найдется вектор-столбец г>0 такой, что Ат +у~=£ Для этого рассмотрим матрицу В =i i, где 0 е R" . Тогда lo lj \В -X Е\-- А-ХЕ у О \-Х Отсюда по теореме 9.1 множество собственных значений матрицы В состоит из 1 и множества собственных значений матрицы А Но по условию ХА< 1, поэтому \=1 - максимальное собственное значение матрицы В. Этому значению в силу теоремы 9.2 соответствует неотрицательный собственный вектор 6Т ={Ь1,Ьг, - ,Ь1„1) и ВЪ =Ъ . \(х ) (Ах + уЬ„Л Обозначим через хг вектор (6,, 62, ...Ьп) .Тогда й> А у 10 1 откуда Ах+уЬп + 1 = X . Если Ь„. ,-=0 .то А£ = X и, следовательно, А. = \ - собственное значение матрицы А, что противоречит предположению А,< 1. Поэтому 6„,Л Ф 0, и 1 -Ах + у-х . Последнее означает, что вектор--х - искомый. Теорема дока- зана. Следствие 9.3. Неотрицательная квадратная матрица А порядка п продуктивна, если и только если для матрицы £ - А существует обратная неотрицательная матрица. Доказательство. Предположим вначале, что для Е-Асуществует обратная неотрицательная матрица (Е-А)"1 . Для произвольного неотрицательного вектора у е R" обозначим (Е- А)" у через ~х. Тогда (£ ~А)х =(Е- А){1А)~у = у" или Ех~аАх~= у, х = Ах + у причем из неотрицательности (£ - А)-1 следует, что~Х1>0, Таким образомА продуктивная по определению. Предположим теперь, что А - продуктивная матрица, но для матрицы Е - А не ствует обратной. По следствию 6.2 это равносильно тому, что матрица £ -А вырож- 0 ... 18 19 20 21 22 23 24 ... 162
|
