Раздел: Документация

0 ... 16 17 18 19 20 21 22 ... 162

справедливость для произвольной треугольной матрицы А порядка я. Для определенности считаем, что все элементы матрицы А, которые выше главной диагонали, равны нулю. Разложим А\ по первой строке: А = аиАи= Я)(-1)2Аи \, где Л,-тре-угольная матрица порядка и, следовательно, для нее выполняется индуктивное предположение, т.е. Ап\ = а22ап...а„„. Отсюда \А = аиа2гъ...а„т что и требовалось доказать.

н -1 п-]

Т7.5. Если обозначить через X вектор-строку (Л"Д

Д, то согласно условию,

т. е. однородная система линейных уравнений =0 имеет ненулевое решение Хт. Поэтому по следствию 5.3 столбцы матрицы Fлинейно зависимы, т.е. F- вырожденная. Но тогда \F\ = 0 по следствию 7.1. Утверждение доказано.

Пусть

		"3 .	-a\f
- а,2
-о13
~ 0];.	~а2п

и п нечетно. Если умножить каждую строку матрицы Лт на -1, то опять получится матрица А. Из свойства 7,5 вытекает, что \А\= (-\)п\Ат . Но АТ = .4 (см. задачу Т7.3), откуда \А \= А или \А\ = -] А, что возможно только при \А\ = 0.

Т7.7. Докажем индукцией относительно порядка матрицы Вандермонда. Матрица

Вандермонда второго порядка имеет види ее определитель равен с2 - с,, т. е.

утверждение выполняется. Предположим, что утверждение верно для матриц Ван-дермонда порядка п - \. Произведем следующие элементарные преобразования столбцов матрицы поочередно из каждого столбца, начиная с вычитаем предыдущий столбец, умноженный на с,. В результате получим матрицу:

(\ о 0... О\

(cj-c,) (с, ~с,)сг... {Cj-c,)1 откуда Д = С = 1(-1)мС; = [с2- cXci-с,)...(с-с,)

1 с2 с2 1с, с?

я - 2

1 сп са

Из того, что последний сомножитель является определителем матрицы Вандермонда порядка п - 1, следует требуемое утверждение.

Т7,8. Доказательство утверждения проведем индукцией относительно порядка матрицы А. Для матриц второго порядка его справедливость проверяется непосредственно. Предположим, что утверждение верно для матрицы порядка п - I и рассмотрим квадратную матрицу/} порядка п.

Из определения определителя следует, что

\A\ = ant-])u,\A[,\ + .: + alk(-\),\A[k +.,. + «1л+ " \А\п .

По индуктивному предположению для любой матрицы определитель состоит из {п - 1)! слагаемых, каждое из которых содержит в качестве сомножителей ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы /1 . Поэтому рассматриваемая сумма может быть представлена в виде п(п - 1)! слагаемых, составленных таким же образом. Осталось доказать, что каждое такое слагаемое фактически является членом определителя. Рассмотрим одно из таких слагаемых в выраженииПо индуктивному предположению оно равно;

М~1)1 + Ч-1)Ч,:.-я,,,,, =(-lK+**,«ltoI/]...a4 ,

где р - число инверсий вектора / = (/2,..., /„). координаты которого составлены из

номеров столбцов матрицы А\,, содержащих соответственно элементы

матрицы А. При этом следует отметить, что из-за исключения

столбца из матрицы /1 происходит сдвиг ее номеров столбцов (на I уменьшаются все номера с (k + 1 )-го по w-й). Поэтому

, (7 гри;,. <к

К ={] , , > = 2- .и.(7.1)

[ir -1 при > к

Сравним числа £ и р, где р- число инверсий вектора ~i=(k, i2,...,i„). Ввиду (7.1) число инверсий, образованных парами координат, не содержащих к в векторах / -(i2,... и i - (А, i2,... ,in ), одинаково. Число к, стоящее на первом месте в векторе Г, образует к- 1 инверсию с меньшими числами 1, 2,..., к-\. Поэтому р=-р+ к - 1. Числа р~+А-1 и р + к+ I имеют одинаковую четность. Следовательно, слагаемое (-1)"1* a,to2li ... ащравно члену определителя (-I)altOj„..ап1 . Отсюда следует, что сумма членов определителя матрицы А равна \А \.

Глава8

I id

Метод

наименьших квадратов

Очевидно, система линейных уравнений Ах =с не всегда имеет непустое множество решений. В связи с этим (и не только) возникает вопрос о существовании такого вектора х* , при котором левая часть А х минимально отличалась бы от правой части с .

I Определение)

Пусть даны матрица А размера т *л, вектор-столбец се JT и вектор-столбец х € R". Тогда вектор Ах -"называется ошибкой вектора х и обозначается через е (х, А, с)Квадрат длины вектора А х-с будет называться модулем ошибки вектора х.

Теорема 8.1. Пусть дана матрица А размерности т * п с линейно независимыми

столбцами и вектор-столбецТогда найдется единственный вектор-столбец

i *ей", для которого модуль ошибки е (х*, Л, с) минимален, причем х ={ААу\Алс).

Доказательство. Предположим, что матрица вырождена. Тогда в силу следствия 5.3 однородная система линейных уравнений Ат А~х = О1 имеет некоторое ненулевое решение а, т. е. ЛТА а = 0Т. Домножив обе части этого равенства слева на а, получим= 0. Теперь воспользуемся теоремой 3.1, замечанием 3.1 и зада-

чей Т3.5:

т. е. А а = 0 (см. задачу Т1 Л). А это возможно только в случае линейной зависимости столбцов матрицы А (следствие 5.3).

Итак, доказана невырожденность матрицы /1Г/4. Но тогда для А1А найдется обратная матрица (АТАу] (следствие 6.2). Обозначим через V вектор (АА)~\АТ с ). Осталось доказать, что для любого вектора-столбца х е R", не равного х\ верно

(Ах -С)7 \2 < {Ах-с.

ОаАА

I I2

fa • {ААа )т] =1 а7-аАА] = [аАт -аА7]- j (АЗЦ ,

0 ... 16 17 18 19 20 21 22 ... 162