Раздел: Документация
0 ... 11 12 13 14 15 16 17 ... 162 Задачи для самостоятельного решения Т5.1. Доказать следствия 5.3 и 5.4. Т5.2. Доказать следствие 5.7. Т5.3. Доказать, что квадратная матрица А вырождена, если и только если такой является матрица Т5.4. Доказать: добавление нового столбца к матрице не нарушает линейную независимость ее строк; аналогично добавление новой строки не нарушает линейную независимость ее столбцов. Т5.5. Пусть дана неоднородная система линейных уравнений АХ = С с квадратной матрицей А. Доказать, что она имеет единственное решение, если и только если строки (столбцы) матрицы А линейно независимы. Т5.6. Доказать, что любую линейно независимую систему векторов, не являющуюся базисом в пространстве R", можно дополнить новыми векторами до базиса этого пространства. Т5.7. Пусть дана система А из m линейно независимых векторов пространства R" и т<п. Доказать, что если ненулевой вектор z ортогонален с каждым вектором из А, то система векторов А, £ будет также линейно независимой. В задачахдоказать, что векторыобразуют базис в пространстве Ri, а также представить вектор d в виде линейной комбинации векторов "а, Ь, с. П5.1. а = (3,1,3) Ъ =(2,1,0) с =(1,0,1) 5 = {4, 2,1). П5.2. а - (10,3,1) £ = (1,4,2) с =(3,9,2) = (19,30,7). П5.3. а =(2,-1,11) £ = (1,1,0) с =(0,1,2) d = (2,5,3). П5.4. а =(8,2,3) 5 =(4,6,10) ~с =(3,-2,1) d = (7,4,11). П5.5. а = (1,-2,3) £ = (4,7,2) с" = (6,4,2) гГ = (14,18,6). П5.6. 5 =(3,1,8) £ = (0,1,3) с =(1,2,-1) d = (2,0,-1). П5.7. а = (2,4,1) £ = (1,3,6) с=(5,3,1) гГ = (24,20,6). П5.8. Ъ =(-1,7,-4) £ = (-1,2,1) с =(0,-3,2) d =(2,1,-1). П5.9. Э =(4,7,8) Ь =(9,1,3) С =(2,-4,1) 3= (1,-13,-13). =£с = - d П5.11. а = (3,7,2) £= (2,3,4) г = (6,2,2) гГ= (3,-1,2). П5.12 =(0,1,1) £ = (2,3,4) г =(0,0,1) d =(-1,-2,-4). П5.13. а =(-2,0,-2) b = (0,-1,1) с =(-2,0,-3) d = (-1,1,-3). П5.14. a = (0,-1,-3) £=(0,1,0) с=(-2,1,-4) (/ = (-1,1,-3). П5.15.5 =(-2,-2,-3) 5 = (-2,1,1) с =(-2,-2,2) d= (-l,-l,3). П5.16. a = (2,-2,0) £ = (3,0,1) с =(4,-2,0) rf = (3,-l,l). П5.17. a = (2,-2,4) £=(3,1,-1) с =(-4,5,2) 3 = (8,-1,6). П5.18. a = (3,4,1) £ = (5,8,-1) Ъ =(6,-1,4) d = (5,-1,3). П5.19. a =(-3,1,4) £=(7,1,-5) с =(8,1,6) d-(-l,2,4). П5.20. "5 = (-3,8,2) £ = (5,9,-4) с = (6,1,8) d - (-2,-3,-4). П5.21. a = (2,-1,3) £ = (1,0,2) с = (3,1,1) d = (0,-2,4) В задачах П5.22 - П5.42 дополнить линейно независимую систему векторов до базиса: П5.22. =(2, 1,3). П5.23. (-1,3,0). П5.24. (2,-1,-4). П5.26. (-2, 5,3). П5.27. 3 = (2, 1,3), Ь = {-\, 3,1). П5.28. П5.29. 5 =(0,3, 4), £=(1,4,2). 5= (-1,3, 6), П5.33.1). П5.34.5 = (1, 0, 3, -1), £ = (-2,4,3,2). П5.35.й= (2, 4,-1,6), £ = (3, 2,-1,4). П5.36.5 = (3,-1,0,2), £ = (2, 1,3,6). П5.37.5= 1, 1). П5.38.= (3, 2, = (4, 2, 3, 6). П5.31.  П5.32. £ = (2,0,-1,3). П5.39. а = (3,-1,4, 6), Ъ = (3, 2, -1,1). П5.40. с С = (2, 1, 3, 4), Ь (2, 4, П5.41. й =(3,2, 4, 0, Ь (3, 1,-3, 1). П5.42. а = (2, О, 1,3), Ь (-1, 1, 3, -2). Ответы, указания, решения Т5.2. Рассмотрим однородную систему АХ = 0. По следствию 5.3 линейная зависимость столбцов матрицы А равносильна существованию ненулевого решения системы аАХ= 0. Так как система ЕХ = 0 имеет только нулевое решение, то по утверждению 4.2 наличие ненулевого решения в системе АХ = 0 равносильно невозможности с помощью элементарных преобразований превратить матрицу А в единичную матрицу Е того же порядка, что в свою очередь равносильно линейной зависимости строк в А ввиду следствия 5.6. Т5.3. Указание: воспользоваться следствием 5.7. Т5.4. Предположим, что в матрице А с линейно независимыми столбцами добавлена одна строка. Полученную матрицу обозначим В. Очевидно, что система уравнений ЕХ -0 содержит все уравнения системы АХ = 0. Поэтому множество решений системы ИХ = Оявляется подмножеством решений системы АХ = 0. Но система АХ = 0 имеет только нулевое решение в силу следствия 5.3. Следовательно и вторая система имеет только нулевое решение, что опять-таки по следствию 5.3 означает линейную независимость столбцов матрицы В. Остальная часть утверждения (касающаяся добавления нового столбца) следует из только что доказанного- достаточно только перейти к рассмотрению транспонированной матрицы. Т5.5. Согласно следствию 5.6 строки (столбцы) матрицы А линейно независимы, если и только если система АХ = С элементарными преобразованиями может быть приведена к системе вида D с тем же множеством решений и в которой единичная матрица Е того же порядка, что и А. Это завершает доказательство, если учесть, что система вида D имеет единственное решение X = D. Т5.6. Пусть дана линейно независимая система векторов а(, я2>e R"и m < п. Тогда из следствия 5.2 вытекает существование ненулевого вектораортого- нального с каждым вектором этой системы. Если новая система векторов ... ,линейно зависима, то по теореме 2.2 векторпредставим в виде линейной комбинации векторов первоначальной системы. Но это невозможно, как было показано в конце доказательства следствия 5.5. Итак, система векторов й[, 52,..., а~т , а~+линейно независима. Повторяя рассуждения, через п -т шагов 0 ... 11 12 13 14 15 16 17 ... 162
|
