Раздел: Документация
0 ... 28 29 30 31 32 33 34 ... 143 него (с„) включительно: о Сх о о с3 о .. о .. о .. о 2)столбцы вверх от диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали — коэффициентами с убывающими индексами; 3)места недостающих коэффициентов заполняются нулями. Определитель более низкого порядка получается из определителя более высокого порядка вычеркиванием одного столбца справа и строки снизу. Рассмотрим примеры определения условий устойчивости Гурвица Пример 1. Для уравнения 3-й степени СоР3 -J- CiP2 + с2Р + са = 0 главный определитель Гурвица имеет вид Д,= Сх : С3 Cq С2 О Cj условие устойчивости Гурвица при с„ > О А1 = с1> 0; = cxc2 — с0са > 0; Д3 = с3 (cxc2 — с0с8) > 0. Если все коэффициенты уравнения положительны, то для устойчивости системы достаточно, чтобы Да > 0, т. е. чтобы произведение коэффициентов при средних членах уравиеиня было больше, чем произведение коэффициентов при крайних членах. Пример 2. Для уравнения 4-й степени С0Р* + CiJP3 + с2р2 + csP + с4 = 0 главный определитель Гурвица:
условие устойчивости Гурвица при с„ > 0: Д, = q > 0; О О cic2ca — свс\ — с?с4 = с3 (схс8 — с0Сз) — с2с4 > 0; Д4 = сЛв > 0. Из записанных неравенств видно, что если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то при выполнении третьего неравенства (До, > 0) будут выполняться и другие неравенства, т, е. в этом случае для получения устойчивой системы достаточно, чтобы Ад > 0. Предельный коэффициент усиления системы Из первой и второй глав (см., например, формулу (2.75)) следует, что для уменьшения ошибок в установившемся режиме необходимо повышать коэффициент усиления системы в разомкнутом состоянии kv. Однако kp входит в коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы и поэтому влияет на ее устойчивость. При увеличении &},.можно устойчивую систему превратить в неустойчивую. Коэффициент усиления системы kp, соответствующий границе устойчивости системы, называется предельным коэффициентом усиления системы Ар.пр- Для получения устойчивой системы необходимо, чтобы £р пр > > kP- Предельный коэффициент усиления можно найти с помощью критерия устойчивости Гурвица, если приравнять нулю определители Гурвица. Методику определения /грмр рассмотрим на конкретном примере. Пример 3. Пусть дана следящая система, имеющая передаточную функцию в разомкнутом состоянии! h..(o) D(p) -hp = Ь. pw F(p) (7>+1)(7>+l)p (hp* + aip2 + a2p + aa * Передаточная функция системы в замкнутом состоянии: к (л D(p) - = li£L Лз№ F(p) + D(p) сйГР + с1Р* + сгр + съ а(р) Коэффициенты знаменателя передаточной функции, в которые входит kp, следует записать в явном виде относительно kp. В рассматриваемом случае, когда D (р) — — kp, имеем с3 = ftp. В другие коэффициенты kp не входит-3 & Характеристическое уравнение замкнутой системы (Р) = <W3 + Сх/>2 + СзР + с„ = 0. При положительных коэффициентах условие устойчивости Гурвица имеет вид: Д2 = c2c2 — с0с3 > 0, или, учитывая, что с3 = kp, Д2 = qc2 — c„ftp > 0. Из уравнения, определяющего границу устойчивости системы, Д2 = ехс2 — сгр пр = = 0, найдем предельный коэффициент усиления kpjlp = схс2/с0. Коэффициент запаса устойчивости по усилению. Коэффициент запаса устойчивости по усилению о представ- ляет собой отношение предельного коэффициента усиления разомкнутой системы к коэффициенту усиления системы, т. е. о = kp.np/kp. Коэффициент запаса о показывает, во сколько раз может быть увеличен коэффициент усиления системы, чтобы система стала неустойчивой. Обычно принято коэффициент запаса по устойчивости выражать в децибелах: о [дБ] =201go = 20 lgkp.np — 20 \gkp. В этом случае запас устойчивости по усилению соответствует числу децибел, на которое нужно изменить усиление системы, чтобы она стала неустойчивой. Считается, что система должна обладать запасом устойчивости в пределах 10...15 дБ. С помощью критерия устойчивости Гурвица сравнительно просто исследовать устойчивость системы, описываемую уравнениями не выше 4—5-го порядка. Исследование же систем более высокого порядка с помощью критерия Гурвица становится сложным. Кроме того, недостатком критерия Гурвица является то, что трудно проследить, как влияет тот или иной параметр системы (Т, g, kp) на ее устойчивость. Поэтому наряду с алгебраическим критерием устойчивости Гурвица применяются частотные критерии устойчивости. 3.3. Частотные критерии устойчивости Частотные критерии устойчивости основаны на использовании частотных характеристик. Разработаны следующие частотные критерии устойчивости: критерий устойчивости Михайлова, амплитудно-фазовый критерий устойчивости (критерий Найквиста — Михайлова), логарифмический частотный критерий. Основное преимущество частотных критериев устойчивости перед алгебраическими критериями заключается в том, что частотные характеристики можно получить экспериментально. Это, как уже отмечалось, важно в тех случаях, когда трудно составить уравнения динамики (например, для систем с распределенными параметрами). Кроме того, частотные характеристики позволяют сравнительно просто определить влияние того или иного параметра на устойчивость, а также дают возможность судить о переходном процессе системы. Из частотных критериев устойчивости рассмотрим амплитудно-фазовый и логарифмический. Амплитудно-фазовый критерий устойчивости (критерий устойчивости Найквиста—Михайлова) Амплитудно-фазовый критерий устойчивости, первоначально разработанный в 1932 г. X. Найквистом для исследования усилителей с отрицательной обратной связью, в 1936 г. был обоснован, обобщен и впервые применен в теории автоматического управления А. В. Михайловым. Критерий Найквиста — Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ системы в разомкнутом состоянии. Различают формулировки критерия для случаев, когда система в разомкнутом состоянии устойчива и неустойчива. Для первого случая критерий устойчивости формулируется еле- ■ 0 ... 28 29 30 31 32 33 34 ... 143
|
