Раздел: Документация

0 ... 75 76 77 78 79 80 81 ... 143

Понятие о разностях решетчатых функций и разностных уравнениях

Скорость изменения непрерывной функции fr (t) определяется ее первой производной dfT (f)ldt. Скорость изменения решетчатой функции / In] характеризуется ее первой разностью А/ ]п], являющейся аналогом производной непрерывной функции.

Разность первого порядка (первая разность) решетчатой функции f [п] (рис. 8.24, а)

Af-[n] = f[n+ l]-f[n],

т. е. равна разности между последующей (п + 1)-й и и-й ординатами решетчатой функции (рис. 8.24, б).

Первая разность, как и производная, по существу равна отношению приращения функции к приращению аргумента, А/ [и]/Art, но так как An (п + 1) — п = 1, то ее значение равно А/ [п].

Разность второго порядка (вторая разность) A2/ [rt] (рис. 8.24, в) представляет собой.разность между (п + 1)-й и rt-й ординатами первой разности:

А2/[п] = ДП«+ 1] —А/[п] или, если раскрыть первые разности, то

A2/[n] = /[rt+2]-/[n+ l] (/[rt + l]-/lrtl) = = f[n + 2]-2П"+1] +f[n].

Разность k-то порядка определяется выражением Д*/ [rt] = А*"1/ [п+Ц- A*"1/ [rt] или непосредственно через значения решетчатой функции

Ik\

Д*/[л] = £(- l)v(v)f[« + *-y,

(8.22)

fin]

(!)

где I =

•биномиальные ко-

v\(k — v)l эффициенты.

Пример 3. Для решетчатой функции f [п] = an (рис. 8.23, г) первая разность равна постоянной a: Af [nj = а (п + 1) — ап—а. Вторая и высшие разности равны нулю.

Разностные уравнения. При исследовании непрерывных систем пользуются дифференциальными уравнениями, определяющими связь между непрерывной функцией и ее производными. При рассмотрении дискретных и, в частности, импульсных систем используются

WOT

mm

з

a

—( —

О 1

J2T

Рис. 8.24. Решетчатая функция / [п] (а) и ее правая (б) и вторая (в) разности.

---

разностные уравнения, определяющие соотношения между дискретной функцией у [п] и ее разностями различных порядков Aky In], где k == = 1, 2, /. Разностными уравнениями описываются цифровые вычислительные устройства. В частности, разностные уравнения определяют их последовательность действия, т. е. программу.

Если линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка записывается в виде

ai —jp--г —--h • • • + «i —jt--t a0y (t) — J (t),

то линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами можно представить в форме

btAly [п] + b, iA/ 1«/ [п] + ... + Ь0у [п] = / [п] (8.23)

или

aly[n + l] + ai-1y[n + i—l]+ + а0у [п] = f [п], (8.24)

где / [п] — известная дискретная функция; у [п] — искомая дискретная функция, представляющая собой решение разностного уравнения.

Разностное уравнение 1-го порядка соответствует дифференциальному уравнению 1-го порядка. Дифференциальное уравнение можно рассматривать как предельное выражение для разностногоуравнения, когда период дискретности Т стремится к нулю. Решение разностного уравнения (8.23) или (8.24) можно найти с помощью различных методов, аналогичных методам решения дифференциальных уравнений. Более удобным методом решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.

Дискретное преобразование Лапласа (-преобразование)

Прямое -преобразование. Обычное преобразование Лапласа — это преобразование Лапласа непрерывной функции

со

L {/V if)} = Ft (р) = j fT (t) e-dt.(8.25)

о

Дискретное преобразование Лапласа представляет собой преобразование Лапласа решетчатой функции. Символами дискретного преобразования Лапласа приняты D {/ [пТ]} и F\ (р). Выражение дискретного преобразования Лапласа получается из формулы (8.25) заменой интеграла на сумму, непрерывной функции /т (t) — решетчатой / [пТ], а времени t — дискретным аргументом пТ:

со

D{/[пТ]} =FT(p)= £ /[пТ]е-пТр.(8.26)

Дискретное преобразование Фурье получим, подставив в формулу (8.26) /со вместо р:

FT (/со) = £ f [пТ] е-/пе>т.(8.27)

---

Для случая, когда в качестве аргумента ф]=1[п) непрерывной функции берется относитель- / ное время Г = tIT, выражение для D-npe-образования

0 12 3 4п

. V Я 1 —fl" /о оя\ ис"Единичная сту-

D{f[nl} = r \Q)— 2j Пл1е i (o.zo) пенчатая решетчатая функ-

п=0

ция.

где q — рТ = о* + }®Т = а + /со — комплексное число, называемое параметром дискретного преобразования Лапласа; to = to Т — относительная частота импульсов; со0 — 2п/Т — частота импульсов.

Дискретное преобразование для смещенных решетчатых функций имеет вид;

D {f [п, е]} - F* (q, е) = f / [п, е] е"".(8.29)

П р и м е р 4. Задана единичная ступенчатая решетчатая функция f In] — 1 [п] (рис. 8.25). Определить F* (о).

Подставляя значение функции в формулу (8.28), получаем

ооОС

F*(q)= £ 1{«]е~9П=£ 1 ■е-"п= 1 + е-« + е"2" + е~3» + ...

Последнее выражение представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию, первый член которой а= 1, а знаменатель прогрессии Ь= е~д. Сумма этой прогрессии при Req > 0 определяется по формуле

£а1—Ь 1-е-" е" — )

Таким образом,

D {1 [п]} = F* (9) = <*/(е« - 1).(8.30)

В табл. 8.2 приведены D-изображения некоторых функций. Теоремы и правила дискретного преобразования Лапласа, устанавливающие соответствие между операциями в области оригиналов и изображений [78], аналогичны теоремам и правилам для непрерывного преобразования Лапласа.

Связь между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа (Фурье) — ©-преобразование. Частотное представление решетчатой функции

Решетчатую функцию / [пТ], соответствующую непрерывной функции fT (t), можно получить с помощью амплитудно-импульсного модулятора, обеспечивающего амплитудную модуляцию последовательности мгновенных импульсов единичной площади i [пТ] сигналом fT (t).

Обозначим изображение Фурье (частотный спектр) непрерывной функции fT (t) через FT (/со) (рис. 8.26, а). Последовательность импуль-

0 ... 75 76 77 78 79 80 81 ... 143