    
Раздел: Документация
0 ... 77 78 79 80 81 82 83 ... 143 ной функции приведенной непрерывной части системы KD (д)) можно воспользоваться табл. 8.2. Основной особенностью дискретного преобразования Лапласа (Фурье) является его периодичность. Изображения FT (р) и Ft (Ja>) являются периодическими функциями с периодом со0. Периодичность р} (/со) видна при рассмотрении амплитудного спектра F\ (/«>) решетчатой функции (рис. 8.26). Используя частотное представление решетчатой функции, можно сформулировать теорему о дискретном представлении непрерывных функций, устанавливающую соотношение между спектром непрерывной функции и частотой повторения импульсов, при котором возможно восстановление непрерывной функции, и требования к частотной характеристике непрерывной части импульсной системы, обеспечивающей сглаживание импульсов, т. е. восстановление исходной непрерывной функции. Теорема о дискретном представлении непрерывных функций. Полезная информация (спектр огибающей амплитудно-модулированной последовательности импульсов) расположена около нулевой частоты, но та же информация появляется периодически вдоль оси частот через частоту со0. Спектр огибающей, расположенный около нулевой частоты, обычно называют основным, а смещенные спектры — дополнительными. Из рис. 8.26, в следует, что дополнительные спектры не перекрываются (и, следовательно, не перекрывают основной спектр), если максимальная существенная частота сот спектра непрерывной функции (полезного сигнала) меньше, чем половинная частота импульсов, т. е. если сот < со0/2, где со0 = 2п/Т, Т — период повторения импульсов. В случае, когда com > со0/2 (Т слишком велик), смещенные спектры непрерывного сигнала перекрываются (рис. 8.26, г) и специфические особенности сигнала не проявляются. Спектр решетчатой функции в этом случае будет близок к белому шуму. Очевидно, что вид частотного спектра исходной непрерывной функции, а следовательно, и саму эту функцию можно восстановить, если смещенные спектры не будут перекрываться. Сформулируем теорему: если полезная информация выделяется линейной цепью только на основании различия в частотном спектре, то исходная непрерывная модулирующая функция может быть восстановлена без искажений, если частота повторения импульсов со0, по крайней мере, в два раза больше максимальной частоты сот спектра этой непрерывной функции, т. е. если 2com со0: При выполнении условий этой теоремы спектр полезного сигнала будет находиться в полосе частот между —со0/2 и + со0/2. Приведенная теорема называется теоремой Котельникоеа. Сглаживание импульсов. На приведенную непрерывную часть ПНЧ импульсной системы (рис. 8.20) с выхода простейшего импульсного элемента поступает амплитудно-модулированная последовательность импульсов. Полезная информация этой последовательности импульсов содержится в огибающей их амплитуд (плрщадей). Задачей приведенной непрерывной части является выделение полезной инфор-
i Рис. 8.27. Преобразование дискретной информации (а) в непрерывную (б). мации, т. е. выделение огибающей импульсов, или иначе, преобразование дискретной информации в непрерывную. Наряду с этой, специфической для импульсных систем, задачей приведенная непрерывная часть осуществляет также свойственные для всех САУ функциональные преобразования полезного сигнала с целью достижения необходимых динамических характеристик. Чтобы из амплитудно-модулированной последовательности импульсов (рис. 8.27, а) вновь получить непрерывный сигнал, необходимо отфильтровать дополнительные составляющие частотного спектра этой последовательности импульсов и пропустить лишь основную составляющую, т. е. спектр огибающей, расположенный около нулевой частоты (рис. 8.27, б). Таким образом, если процесс получения дискретного сигнала подобен процессу модуляции, то процесс выделения огибающей подобен процессу сглаживания при демодуляции амплитудно-модулированного напряжения несущей частоты. Сглаживание импульсов или фильтрование высокочастотных составляющих спектра последовательности импульсов можно осуществить с помощью фильтра низких частот. Поскольку основная составляющая спектра последовательности импульсов сконцентрирована вокруг нулевой частоты, а дополнительные составляющие — вокруг частот со0, 2со0, то для фильтрации дополнительных составляющих спектра граничная частота пропускания фильтра должна быть примерно равна половинной частоте повторения импульсов со0/2. Во многих импульсных системах автоматического управления функцию фильтра низких частот — сглаживание импульсов — в основном выполняют элементы самой системы (например, усилитель, двигатель). Иногда с целью достижения лучшего эффекта фильтрации в систему включают дополнительные сглаживающие фильтры. Наиболее простым фильтром является фиксатор. -Преобразование В дискретное D-преобразование (см. выражение 8.26) переменная р входит в виде ерТ, и, следовательно, это преобразование не является рациональной функцией от р. В связи с этим исключается возможность применения обычного метода анализа в плоскости р (например, метода анализа устойчивости, качества путем определения нулей и полюсов передаточной функции в плоскости р) для анализа импульсных систем. D-преобразование является рациональной функцией от еРт или, если введено относительное время, то от е4, где q = рТ. Если в выражениях (8.28) и (8.29), определяющих D-преобразование, заменить е* на z, то получим так называемое г-преобраэование, являющееся .рациональной функцией относительно новой переменной г: F(z)= f f[n]z-n;(8.35) со F{z, в)= X fin, e]z-n.(8.36) D-преобразование и z-преобразование эквивалентны. Однако при использовании z-преобразования анализ импульсных систем в плоскости z во многом будет подобен уже известному анализу непрерывных систем в плоскости р. Кроме того, преимуществом z-преобраэования является сравнительная легкость вычисления обратного преобразования и упрощение записи. Выбор того или иного вида преобразования определяется удобством его применения при решении той или иной конкретной задачи. Символом z-преобразования решетчатой функции / In] является со Z{f[n]} = F(z) = £ f[n]z-n. z-Преобразование смещенной решетчатой функции, определяемое выражением (8.36), в литературе обычно называется модифицированным z-преобразованием. Призер 5. Пусть / [n] = 1 [п] (рис. 8.25). Подставляя значение / [п] в (8.35), находим Z{\[n]) = F(z)= У l[n]2-"=f l.z-"=\+z-,+z-2 + 2-3+ ... Сумма полученной геометрической прогрессии равна Z {1 [п]) = F (г) = 1/(1 — z-1) = г/(г — 1).(3.38) Из сравнений выражений (8.30) и (8.38) видно, что z-преобразоваиие единичной решетчатой функции соответствует ее D-преобразованию, если в последнем заменить " = г. е z-Преобразования некоторых функций времени приведены в табл. 8.2. Более полные таблицы z-преобразований можно найти в литературе [35]. 0 ... 77 78 79 80 81 82 83 ... 143 |
||||||||||||||||||||
