    
Раздел: Документация
0 ... 138 139 140 141 142 143 144 ... 177 —*y(i) laplace.l dt s-(s laplace(y(t),t,s)-y(0))-
1 «- 0 -y(t) Japlace,t dl j (я - ]aplace(y(i),l,i) - y(0)) - t *- 0 dt —y(i) laplace.l dt s - lapbce(y(i).i.s) - y(O) y(l) laplace.t —> lapiacc(y(t),i, s) Аналогично предыдущему примеру, заменим функцию laplace(y(t), t, s) на z и запишем начальные условия для производных в классическом виде. Для удобства дальнейших вычислений представим полученные выражении и виде вектора: s.[.[e<s-z-vO)-/0] -у"0Ч -/tf i-[s(Bz-yO)-/0]-y"0 b(s-z- уО) -УО 8-z-yO Упростим элементы вектора, вызвав команду simplify Memo Symbolic: Л уО - ь2-У0 - Б-у"0 - у-О V:= я32 - s2 уО - »У0 - у"0 8 -г- ВуО - ут} iZ-yQ г Обратите внимание, как простым переопределением элементов можно упростить огромные вы рпжении прямого преобразования Лапласа. Осуществлять же такого рода операцию нужно не только исходя из эстетики решения или экономии места, но и в связи с тем, что чем проще форма ныкикенкя, тем более эффективно с неД работает символьный процессор. Поскольку преобрази ват те Лапласа обладает свойством линейности, комбинация упрощенных изображений представляет собой алгебраическое уравнение, соответствующее дифференциальному. Решив ста относительно г, мы получим изображение icopwi дифференциального уравнения: V0 - 4V( + 6V2 - 4V3 + V4 solve ,z -* 32 •уО + 8 -yO + 8 уЮ + 8уТЗ + у"0-*-82-уО-4.8-уО-4.уТ) + б-в-уО бу1") Применим обратное преобразование Лапласа н приведем подобные слагаемые (последион операцию следует выполнять после того, ках решен и сбудет получено н развернутом виде, ведь предсказать заранее, какие слагаемые окажутся подобными, нельзя): imiaplacc. в colteafCKp(t),t3,(2 (р4у0 + 5ЭуО + % /0 + sy*0 + у"0 -4s2-y0 - 4s yTJ - 4yp + 6s yO + 6yTj) -4.5** 4 6s2 - 4s + + Выражения в круглых скобках являются независимыми произвольными постоянными функции решения, обозначаемыми и математике как Сп. Найденная в результате функция является записанным пусть н не в самой удобной фирме, по все же вполне корректным решением уравнения. Абсолютно аналогичным способом можно найти корни и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков. Достаточно лишь преобразовать правую часть, з при решении алгебраического уравнения перенести соответствующее ей изображение в левую часть. Используя преобразование Лапласа, можно решить системы ОДУ. Чтобы зто сделать, вы должны найти корни системы алгебраических уравнений, составленной из полученных изображений уравнений системы ОДУ. Применив затем к найденным корням операцию обратного преобразования Лапласа, вы «тлейте иском ые-аналитические решения снетемы- Задачу Коши дли ОДУ или системы ОДУ можно решить и несколько упрощенным способом, используя вычислительный блок Given-Find, но для этого нам придется вспомнить, как формируются изображения для производных функции-оригинала. Пример 14.3. Найти решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений х=4х-3у+2е\ у=Зх-2у-гЛ х(0)=-1, у(0)=О Вводим ключевое слово CJvcn: Given Выполняем операцию преобразования Лапласа нал производными и свободными членами уравнений (функциям x(t) и у( t) соответствуют изображения х и у): —х(() laplace.t -* s - la place (x(t),t»s) - x(0) dt —y(t) laptace.t -* s - Iap1ace(y(t),t,s) -y(0) dt t 222 2e lapiace.t -t --I kaplace.t -> — (S - .)s3 В изображениях производных присутствуют начальные условия х(0) и у(0). Их необходимо указать в алгебраических уравнениях, к которым гводятся уравнения дифференциальные: 2 2 ж-х+ I =4х-Зу +-в-у=»3х-2у-- 1-13 5 Решаем полученную систему уравнений относительно jt и v: find(x,y) 5 * 3 * 4 Л -S + 6-8 + 6 - S + 8 -61 3-Й +3-8 -о (lO 8-3-s4-2s2-8 + 9-s3) s3 (s3 - 3 s2 + 3 - а - l) Для получении функций решения проводим над полученными выражениями обратное преобразование Дан ласа, грушшруя затем подобные слагаемые. Фушхння x{Q: 5 * 3 * 4 Л I +6- В +6-S+S -61 invlaplace ,s col lect,exp(t) s Is -3-8 +3-S-II (г-12 + 5 1- w) exp(t) 4- 3 t2+ 12 t + 18 Функция y(t): (lO-8-3-14-2 s2-8+9s3) s3 (s* - 3 s2 + 3 • s - -* (э t2 + 3- t -2o)enp(t>4 4 -12 + 14-1 + 20 invlaplace ,s collect, exp(0 14.1.2. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с применением преобразования Фурье Специфическим, но все же альтернативным преобразованию Данласа способом можно решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения, используя преобразование Фурье, Достоинствам преобразования Лапласа является то, что с его помощью можно решать как однородные, так и неоднородные линейные уравнения. Однако у этого метода есть и существенный недостаток: при его использовании приходится оперировать огромными выражениями и делать множество замен и подстановок. К тому же полученное решение всегда представлено в довод ьно неудобной нестандартной форме. При использовании же преобразования Фурье этих проблем не возникает: процесс решения компактен, а искомая функция отображается в привычном виде. Сущность преобразования Фурье заключается в переходе от функции действительной переменной f(x) — оригинала к изображению — комплексной функции F(y). Функция F(y) ставится в соответствие функции f(x) согласно формуле "ПО Ну) - — - V2n J-00 которая и носит название преобразования Фурье. Пх)е У"dx 0 ... 138 139 140 141 142 143 144 ... 177 |
