Раздел: Документация
0 ... 14 15 16 17 18 19 20 ... 87 Глава 3 Плоские задачи. Конечные элементы для плоских задач Матричная форма записи основных соотношений теории упругости для (двумерной) задачи приведена в п. 1.3 главы 1. 3.1. Функции формы конечных элементов и матрица жесткости В п. 2.2.1 главы 2 было получено выражение для матрицы жесткости стержнево, элемента. Получим это же выражение, используя так называемые «функции формы», дальнейшем этот подход будет использоваться нами в других, более сложных, случаях. Рассмотрим стержневой элемент длиной L, площадью поперечного сечения А, с moj лем упругости материала Е. Элемент имеет по концам узлы i, j (рнс. 2.5). Введем в рассмотрение следующие две линейные функции: N{(() = l-(, Nj(() = (.(з. где <f — относительная координата точки элемента в локальной системе координат f = x/L. 0<<f<7.(3» С учетом (2.9) смещение и{х) можно записать следующим образом: и(х) = и{{) = М.({)и. + М.{{)и., или в матричной форме: U U - N. N.\ = №}•щ Линейные функции N.(<!j), N) в (3.1) называются функциями формы стер» вого элемента (их также называют интерполирующими или аппроксимирующими). Поста дела, они действительно служат для интерполяции искомой величины (в данном Щ чае— перемещений) в пределах элемента. Как видно из (3.1), функции формы обладал следующими свойствами: !)!>, =1,(3.4 т. е. сумма функций формы по всем узлам элемента тождественно равна 1; \l,Z = 0[x = x.)\1,£ = 1\х = х.) т. е. функция формы равна 1 в одном из узлов и 0 — в остальных. Аналогичные функции используются и для интерполяции координат произвол"1 точки в пределах элемента. Бели для интерполяции координат и перемещений нспольТ ются одни и те же узлы и, следовательно, одни и те же интерполирующие функции iV> такой элемент называется изопараметрическим. Изопараметрические элементы получи наибольшее распространение в силу определенных удобств прн разработке программ. С учетом введенных функций формы относительные деформации можно запй1 следующим образом: E~~dx~ dx -N {«}=№}. (3.5) f R 1 — матрица дифференцирования перемещений: [5]=[ад)]4к.(а)]-, [B] = [-l/L 1/L]. Напряжения запишем следующим образом: <т = Ее = Е[В Км}. С учетом (3.5) н (3.7) энергия деформации стержневого элемента: U = -\oTedV = -\ {{uf [В]ТЕ[ВЫ) dV- (3.6) (3.7) =LAuf \ ([Bf E[B])dV {и}. (3.8) В то же время работа, совершаемая силами f. и f , приложенными в узлах (рис. 2.1), составляет: W = -f.uЛ-fM .=-{«}Г{/}-2J> 2 J 1 2 Однако для консервативных систем должно выполняться: U — W. Подставляя (3.8) н (3.9) в (3.10), получим: киг\\([вгт )dv\{u}-Uuf{fi 2у2 Таким образом: J ([BfE[B] )dV [к]- (3.9) (3.10) {«}={/}.„лн[*]{«}={/}. где матрица жесткости элемента: [khl([B]TE[B])dV, (3.11) 6 л?™1 УРУ1"00™ Е постоянен по всей длине элемента. р*°рмула для матрицы жесткости в общем виде (3.11) может быть использована для [Г1}чных типов элементов. В частности, для стержневого элемента после подстановки [В\ по (3.6) в (3.11 3.11) получим: lkHltL}E[-,/L ,/LUdx-f 1 -1 -1 1 Это выражение полиостью совпадает с полученной ранее формулой (2.6). Формула для матрицы жесткости в форме (3.11) может быть получена и другими u тодами: например, используя принцип минимума потенциальной энергии. Заметим, что иа основании (3.8) и (3.11) энергию деформации элемента можно з сать в виде: и=±{и}т[Ш (3.1)1 Рассмотрим использование функций формы для построения матрицы жесткости бо сложных элементов. Обобщая формулу (3.3) иа число узлов большее, чем 2, запишем: N] О N2 О О N j О N2 и • или {u}=[Nld}. (3.1) Здесь [ N ] — матрица функций формы, { U } — вектор смещений в любой тощ элемента, {d }— вектор перемещений узлов. При этом, естественно, делается пред» ложение, что перемещение в направлении и в произвольной точке внутри элемента зав сит только от и -перемещений узлов. То же считается верным и для перемещений в ш правлении V. Учитывая (1.14), вектор деформаций можно записать следующим образом: U }= [D К u}=[D JN Id }, или {е }= [В Id }. (З.и Здесь [5] = [D][iV] — матрица дифференцирования перемещений. Рассмотрим энергию деформации элемента. Аналогично (3.8) можно записать: U = {\{af{e}dV = L v2v =LJ([EM)T{e}dV = {ef[EMdV = 2 у2 у -Adf][B)T[ElB]dV{d}=Ud}T[kld}. 2 у2 Из этого выражения получаем формулу для матрицы жесткости произвольного п**! кого элемента: е +а е +т у \dV- [k]=№[ElB\dV. (3.1 Заметим, что в отличие от линейного элемента, в данном случае \Ё\ — матрица, ределяемая формулами (1.11) и (1.11 а) для плоского напряженного состояния и плос*1 деформации, соответственно. 0 ... 14 15 16 17 18 19 20 ... 87
|
