Раздел: Документация
0 ... 9 10 11 12 13 14 15 ... 17 Задача аналитического выражения семейств статических петель очень сложная, и поэтому для упрощения ее решения введем понятие о так называемых структурных составляющих петель или, что то же, о кривых намагничивания по реактивным («безгистерезиеным» *) и активным (гистерезисным) процессам. Таие характеристики можно непосредственно получить по семейству гистерезисных петель и затем аппроксимировать. Полученные в результате аналитические выражения, очевидно, могут быть использованы для представления искомых петель. Метод получения структурных составляющих петель сводится, к следующему. По семейству гистерезисных петель (рис. 3.12,а) находятся реактивные (или средние) кривые намагничивания hp(b, Вт) (на рис. 3.12,6 пунктиром обозначена основная кривая намагничивания). При каждом значении Вт для соответствующего b средние кривые определяются полусуммой соответствующих значений h петли. Затем можно найти активные кривые намагничивания. Их можно построить в двух координатных системах: в функции hr(b, Вт) (рис. 3.12,в) и в функции hT(b&, Вт) (рис. 3.12,г). В первом случае магнитные характеристики имеют петлевой характер; во втором они представляют собой обычные однозначные кривые. Характеристики hr(b) определяются значениями напряженности поля, которые нужно добавить к кривой hp(b), чтобы получить данные самой петли. При получении характеристик hr(b&) дополнительно нужно воспользоваться нелинейным преобразованием вида h = VBl-b\(3.32) которое дает возможность получить однозначные зависимости hT от Ьа и, следовательно, упростить задачу их аппроксимирования. Результаты построения структурных составляющих hp(b, Вт) и hr(b&, Вт) приведены на рис. 3.12,6 и г. Здесь и далее Вт — максимальное значение магнитной индукции при соответствующем циклическом перемагни- * Кавычки указывают на условность термина и применены для отличия этой кривой от истинной безгистерезисной кривой намагничивания.   чивании; b * — мгновенное значение магнитной индукции; Ьл — мгновенное значение магнитной индукции, преобразованное согласно выражению (3.32); hp— мгновенное значение «безгистерезионой» (реактивной) слагающей напряженности поля; Яг — мгновенное значение активной (гистерезисной) слагающей напряженности поля. Для получения аналитических выражений, отражающих кривые намагничивания, воспользуемся способом аппроксимации. Общую задачу аппроксимации разобьем на две самостоятельные задачи: —выбор класса функций для аппроксимации кривых намагничивания, т. е. выбор функциональной структуры аппроксимирующего выражения; —определение коэффициентов аппроксимации, т. е. постоянных, входящих в выражение аппроксимирующей функции. При выборе класса функций к аппроксимирующему выражению предъявляются следующие требования: 1)функция должна достаточно точно передавать аппроксимируемую характеристику; 2)выражение должно быть простым и удобным для дальнейших исследований; 3)оно должно позволять легко решать задачу относительно желаемой переменной; 4)аппроксимирующее выражение должно быть достаточно универсальным и хорошо отображать варьируе-мость параметров кривых намагничивания; 5)аналитическое выражение должно обеспечивать простоту решения задач гармонического анализа; 6)подстановка аналитического выражения в дифференциальное уравнение должна обеспечивать простоту интегрирования. Желательно также, чтобы аппроксимирующая функция обладала свойством нечетности. Следует признать, что пока нет такого выражения, которое бы полностью удовлетворяло всем перечисленным требованиям. Предложено лишь много различных аппроксимаций, каждая из которых удовлетворяет отдельным требованиям или их группе. В большинстве * Мгновенные значения магнитной индукции и напряженности поля, соответствующие одному определенному магнитному состоянию, обозначаются малыми буквами подобно тому, как это принято при обозначении мгновенных значений токов и напряжений. Литературных источников Выбор выражения обоснован лишь на хорошем совпадении расчетной кривой с аналогичной опытной. В ряде случаев, особенно когда проводится качественный анализ, выбирают простейшие аппроксимации (например, кусочно-линейную и др.). В данной книге для описания «безгистерезисных» или реактивных кривых намагничивания используется гиперболический синус, для описания гистерезисных (или активных) кривых намагничивания — круговой синус. Выбор этих выражений в основном произведен исходя из необходимости обеспечения простоты решения задач гармонического анализа. При таком способе аппроксимации анализ «безгистерезисных» (реактивных) процессов легко производится с помощью функций Бесселя от мнимого аргумента, а активных 0.5
0,5 г В„ Рис. 3.13. Зависимость коэффициентов аппроксимации от величины магнитной индукции. функций с помощью Бесселя от действительного аргумента. Семейства реактивных и активных кривых намагничивания при аппроксимации их гиперболическим и круговым синусами имеют следующий вид: hp = <xp(Bm)sh$p(Bm)b,(3.33) hT = аг (Вт) sin рг (Вт) Ь&, (3.33) где щ(Вт), рр(Вш), аТ(Вт) и рг(Вт) — коэффициенты аппроксимации или параметры ферромагнитного сердечника. Зависимости этих параметров для семейства петель (рис. 3.12,а) в функции магнитной индукции приведены на рис. 3.13. В общем случае эти коэффициенты являются функцией температуры, внешних упругих напряжений и т. д. Характерно, что выражения (3.33) и (3.33) совместно позволяют аналитически выразить семейство искомых петель гистерезиса. Для этого достаточно воспользовать- ся понятием параллельной схемы замещения магнитной цепи и перейти к выражению Лс=зр(Вт)shрр(Вт)fch<xr(Вт)sinрг(Вт)VBl-b2 , (3,34) где А0 — значение напряженности поля при квазистати-чеоком режиме намагничивания (при-->0 берется знак плюс, при-- <0 — знак минус). Для получения петель по этому уравнению нужно при каждом значении Вт определить связь между h0 и Ь за один полный цикл перемагничивания. Подчеркнем, что закон изменения Ь не оговаривается. Выражение (3.34) инвариантно относительно времени и, следовательно, справедливо при любом (квазистатическом) характере изменения Ь. Рассчитанные по уравнению (3.34) семейства статических петель приведены на рис. 3.14,а. Как видим, расчетные петли хорошо согласуются с соответствующими опытными. При необходимости более точного отражения характера петель в качестве аппроксимирующих выражений семейств кривых следует использовать два гиперболических и соответственно два круговых синуса. При этом, как показано в [72], точность описания гистерезисных петель значительно повышается. Для дальнейших исследований аппроксимирующие выражения (3.33) и (3.33) удобно представлять в относительных (безразмерных) величинах. При этом можно получить общность результатов анализа. Особенно удобно их использовать при расчетах цепей со сталью без учета гистерезиса, когда можно пренебречь зависимостью параметров ферромагнетика от величины магнитной индукции (при усредненных коэффициентах аппроксимации). Трудоемкие расчеты по решению задач гармонического анализа можно выполнить лишь один раз и в дальнейшем использовать результаты для расчета дросселей. Примем две системы относительных единиц. При первой системе, применяемой при приближенных расчетах, когда потери в стали можно не учитывать, в качестве базисных величин удобно выбрать #баз=<*. а(м. £баз = 1/р, тл. При этих базисных величинах аппроксимирующее выражение имеет следующий обобщенный вид: Л» = sh 6°.(3.35)
а)
Рис. 3.14. Расчетное и опытное семейства статических и динамических петель гистерезиса: а — статические петли; б — динамические. Переход от абсолютной системы единиц к относительной и обратно производится по формулам h=H5asha, &=5базЬ°,(3.36) 77 0 ... 9 10 11 12 13 14 15 ... 17
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
