Раздел: Документация
0 ... 120 121 122 123 124 125 126 ... 143 моментами переключения tlt t2, tn. Эти моменты переключения из системы трансцендентных уравнений можно определять одним из численных методов. Пример 2. Определить моменты переключения оптимального по быстродействию управления объектом, структурная схема которого изображена на рис. 11.19, а. Согласно схеме WiP + 1) (TV + 1) = х (t)IUm, откуда уравнение объекта [TiTtf* + (Tt + Т2) р + 1] х (г) = ± kUm, р s d/dt, или TiT2d*x (t)/dfl+ (Т± + Г2) dx (t)ldt + я (*) = ± Wm,(11.38) т. е. объект описывается уравнением второго порядка (« = 2). Корни характеристического уравнения рх = —1/Т±; р2 = —1/Т2. Согласно теореме об « интервалах управляющее воздействие должно состоять из двух интервалов. Конец второго интервала (конец переходного процесса) обозначим через t2, а момент переключения tx (см. рис. 11.19, б). Вектор управляемой величины в начальный момент времени (при t = 0) хн = (х0, Хц); х0 = 0; х0 = 0, в конечный момент времени (при / = /s) х (t2) = = хк = (х2, х2); х2 =■ х2к\ х2 = 0. Управляющее воздействие принимаем максимально возможным и( = ±Um, на первом интервале + Um, на втором интервале —Um- Решение уравнения динамики (11.38) х (t) = А0 + + AU(11.39) где А„ = ±fc£/m. Дифференцируя по времени, получаем х (0 = pHi*"1 + p2A2e*J.(11.40) В данном случае п = 2, поэтому первая производнаях (f) является (п — 1)-й производной. Решение (11.39) и ее производная (11.40) на втором интервале управления (tt <i < t2) принимают вид: х (t) = А + A2t + А22еРи,(11.41) x (t) = PlA2lf?J + pe**,(11.42) где A20 — —kUm, так как на последнем интервале управляющее воздействие отрицательно. Запишем решение (11.41) и ее производную (11.42) на момент t2 окончания управ-левия в переходном режиме и приравняем их соответствующим заданным координат: там вектора х (t2) = хк = (х2, *а); х2 = x2k- = 0: х2 = А20 -{- Ла1ер,г + А22ер* = х2к; х2 = Р!А21е + pt? = 0. Из системы уравнений (11.43) находим постоянные интегрирования, соответствующие второму интервалу управления:< .(x2K + kUm)Pi(x2K + Wm)Pl Управляемая величина (11.39) и ее производная (11.40) иа первом интервале управления (0 / < tj) изменяются в соответствии с выражениями: х1П = А1а + А11** + А1*Г*1(11.45) х (0 = Мце* + p2Al2f?*,(11.46) где А(0 = kUm, так как первый интервал управления положительный. (п.43): : 2kUm; ) = 0, J Стыкуем решение (11.41) и (11.45), (11.42) и (11.46) на момент переключения fa (4u - Ai) ePl + (12 - 22) еРЛ = - 2Ш„,; Pt (Лц - A2i) ер« + р2 (А12 - An) ерЛ , откуда находим 4 , 2р„Шт лп — ----— л А --■ *»1Я Л22 —1-----  0J 0,122 tt Рис. 11.21. Графический ме- — п . /] jтод определения моментов (рч — р2) ерЛ переключения. Запишем решение (11.45) и ее первую производную (11.46) на момент (=0 и приравняем их соответствующим начальным значениям координат х0 = 0 и х0 = О вектора хп: *о = Ло + Ли + Аг = 0; *о = РАч + Р2А2 = 0, откуда определим постоянные интегрирования на первом интервале управления Ац = WnPJipt — р2); А12 = - kUnPJto — Pi)-(11 -48) Подставив значения постоянных интегрирования из формул (11.44) и (11.48) в их разности (11.47), получим систему трансцендентных уравнений: [1 + x%vjWm\ е-"* - 2е-р« +1=0; [1 + х/Шт] е~"Л - 2е~рЛ +1=0, (11.49) из которой одним из численных методов определяются моменты переключения tt и t2 Рассмотрим численный графо-аналитический метод определения моментов переключения, точность которого обычно удовлетворяет инженерным приложениям. Подставив значения корней рх = —1/7\ и р2 = —\1Т2 в систему уравнений (11.49), получаем [1 + x/kUm] еЛ - 2е«г + 1=0; [1 + x2JkUm] ет — 2е**т +1=0. Решив эти уравнения относительно tlt находим к = /1 (У = Тг 1п (1(1 + x2K/Wm) е/г» +1] 12); к = /2 (к) = Т2 In {[(1 + x2JWm) e1JT +1] 12). (11.50) (11.51) Задаваясь значениями t2, определяем с помощью полученных формул tt и строям кривые tx = fx (t2) и tt = /2 (к) (рис. 11.21). Значения tt и t2, соответствующие точке пересечения кривых, и являются искомыми моментами переключения. Пусть, например, 7\ = 0,1 с; Т2 = 0,066 с; рх = —10; р2 = —15,15; х2к = 28 ед; Um = 35 ед; k = 2. Если объектом, структурная схема которого изображена на рис. 11.19, а, является электродвигатель постоянного тока, то х2к = со = 28 рад/с, Um = 35 В, k = 2 рад/В с. Подставив эти значения в систему уравнений (11.50), получим: 24» 1,4е1К»-2ею+1 = 0; lf4eis.lK, 2е15-15» +1 = 0, к = h (к) = 0,1 In (0,7е1Ш* + 0,5); к = /2 (4) = 0,066 In (0,7е15-15 + 0,5). 371 Точка пересечения кривых ft (t2) и f2 {t%) дает искомые значения моментов переключения: tt — 0,1054 с; t2 = 0,122 с. В момент t2 вектор управляемой величины принимает требуемое значение х (t2) =, = хк= (х2, х2), где х2 = дк; х2 — 0. С изменением управляющего воздействия скачком от —Um до нуля в момент t2 переходный процесс заканчивается. Для поддержания достигнутого во время переходного процесса требуемого значения управляемой величины (х2 = х2к> х2 = 0) на вход объекта следует подавать, начиная с момента t2, постоянное управляющее воздействие кст = x2K/k1k2. В общем случае после переходного процесса иа вход управляемого объекта подается управляющее воздействие, обеспечивающее необходимое изменение управляемой величины. Построение оптимального переходного процесса Чтобы построить оптимальный переходный процесс на первом интервале управления (0 tj), следует в выражение (11.45) подставить значения постоянных интегрирования из (11.48) или после подстановки численных значений x(Q = (l 3e-1№ + 2e-,s150 7O.(11.52) Расчеты х (/) для первого интервала времени 0 t < 0,1054 сведены в табл. 11.2. Из таблицы видно, что при tt = 0,1054 с, х (f) = xlK = 25,1623. Для последующих расчетов потребуется также знание производной от х (t) в конце первого интервала: х1к = ( PlPa ерл--kUm = V Pi — РгPi —Рг 1 т = (30е-10 0-1054 — 30е-i5.i5-o.io54)70 = 306,598 ед/с. Оптимальный процесс на втором интервале tx. t <Zta или 0 t <z t2 — tt описывается уравнением (11.41). Условно принимаем момент переключения tt за начало отсчета, тогдах (0) = х>к; dx)dt\t=<s = == Xik ив соответствии с уравнениями (11.41) и (11.42) при / = 0 Таблица 11.2. К расчету x(t)
0 ... 120 121 122 123 124 125 126 ... 143
|
