Раздел: Документация
0 ... 19 20 21 22 23 24 25 ... 143 из уравнений звеньев системы исключением промежуточных переменных (см., например, уравнение (2.57)), либо с помощью передаточной функции по ошибке. В соответствии с формулой (2.61) передаточная функция по ошибке /Сеос (р) = 1/П + КР (р)1 = G„ (р)/а (р), откуда уравнение системы для ошибки еа (р): ll + Kp{p)]Qa(p)=ci(p).(2.83) Из формулы (2.63) находим уравнение системы для ошибки Ql (/?)• ll + Kp(p)]Qt(p) = KL(p)L(p).(2.84) Уравнения динамики разомкнутой и замкнутой САУ используются для исследования динамических свойств, в частности, для определения устойчивости САУ (см. гл. 3). 2.7. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления Важной динамической характеристикой звеньев и систем автоматического управления являются частотные характеристики. На основе их использования разработаны инженерные частотные методы исследования САУ. Достоинство частотных методов анализа и синтеза САУ состоит в том, что частотные характеристики позволяют просто выявлять влияние того или иного параметра на динамические свойства системы (устойчивость, переходной процесс). Кроме того, частотные характеристики можно определить экспериментально. Это важно в тех случаях, когда трудно составить уравнения динамики (например, для систем с распределенными параметрами). Частотные характеристики звеньев и систем строятся на основании их комплексных передаточных функций. Комплексная передаточная функция звена (системы) Для получения наглядного представления о частотных характеристиках и выяснения их физического смысла сначала рассмотрим частотные характеристики на примере апериодического звена. Схема электрической цепи, представляемой апериодическим звеном, изображена на рис. 2.2, а. Уравнение звена в соответствии с формулой (2.1) имеет вид: TL+ukuAt), гдеГ=- ; k =. (2.85) Если на вход звена подать синусоидальное напряжение Ui (t) = = Umisinwt, то после окончания переходного процесса на выходе звена также установятся синусоидальные колебания, но иной амплитуды и фазы, чем на входе: ы2 (t) = t/sin (wt + <p). Для анализа звена при синусоидальных колебаниях удобнее пользоваться символическим комплексным методом, который применяется в электротехнике. В соответствии с этим методом синусоидальные функции, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются их изображениями в виде комплексных чисел, а операции дифференцирования и интегрирования соответственно умножением и делением на /со изображений функции, от которых берется производная или интеграл. Комплексные изображения входного и выходного напряжений звена имеют вид: Поскольку Umle,al = Uml (cos Ш + /sin v>f), для перехода от изображений к функции следует брать мнимую часть изображения и разделить на /.- Uml sintuf=[Im(t;me)]//. Запишем дифференциальное уравнение (2.85) апериодического звена в символической комплексной форме 7/coc/m2e(urf+4,) + Um#!™+™ = kUm\ или ЦаТ + I) {Ут2е/<<й+ф) = Шт1е,ш.(2.86) Из уравнения (2.86) можно определить Um2 и ф, а также найти комплексную передаточную функцию звена. Комплексная передаточная функция (КПФ) звена (системы) представляет собой отношение изображений в виде комплексных чисел выходной и входной величин звена (системы) в установившемся режиме .гармонических колебаний, т. е. /((/со) *йфь.(2.87) КПФ еще называют комплексным коэффициентом усиления, комплексной частотной функцией или частотной характеристикой. Комплексная передаточная функция апериодического звена в соответствии с (2.86) Данная передаточная функция является комплексной, так как представляет отношение комплексных функций. КПФ можно представить в алгебраической и показательной формах. Алгебраическая форма КПФ: .... „k(l — щТ)k. ЫТ. , .Л. „ К (И = (1 + /юГ) (1 /(аГ) = ! + ~ 1 i+ &*fT = Р N + }Q (со), (2.89) где Р, . k S\ 1 \ k<i)T (со) = -{ +Ы2Т2 » Q (ш) =--1 .j. (1)278--вещественная и мнимая части КПФ соответственно. 68 Показательная форма КПФ: К (/со) = + ]ЪГ) = Л/ (со) е"*(ю\(2.90) /V(co) =УЯ(со) + 02(со) = = у 1*яД,-(2.91) модуль КПФ; /V4 (со) и N3 (со) — модули числителя и знаменателя КПФ, ■ф (со) = arctg IQ (со)//3 (со)] = — arctg соГ —(2.92) аргумент КПФ апериодического звена Если К. 0"ю) = klF (/со) имеет комплексное число лишь в знаменателе, как, например, в формуле (2.88), то аргумент проще определять по формуле ip (со) = —arctg [Im F (/co)/Re F (j(o)], где Im F (/со) — мнимая, Re F (/со) — вещественная часть знаменателя F (/со) КПФ. Передаточная функция связывает входную и выходную величины звена в любом (переходном и установившемся) режиме при условии, что входная величина может изменяться по любому закону во времени. Комплексная передаточная функция определяет зависимость выходной величины от входной лишь в установившемся режиме при подаче на вход гармонических колебаний. Оператор р в передаточной функции является комплексным числом р = а -f- /со, а в комплексной передаточной функции р = /со, т. е. является мнимой величиной. Таким образом, КПФ является частным случаем передаточной функции. КПФ можно получить из передаточной функции, если в ней заменить р на /со:К (/со) = \К (p)]pfa. Действительно, если имеем передаточную функцию апериодического звена К (р) = k/(l + Тр), то, заменив р на /со, получим КПФ этого звена: К (/to) = kl(\ + /соТ). Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики Выясним физический смысл модуля N (со) и аргумента ф (со КПФ. Для этого числитель и знаменатель выражения (2.88) разделим на eat: К (/со) = N (со) - (LWiVmi) е/ф.(2.93) Из формулы (2.93) получаем следующее. 1. N(v>) = Um3/Uml,(2.94) т. е. модуль N (со) КПФ звена (системы) равен отношению амплитуд выходного и входного колебаний звена (системы). Из формулы (2.91) следует, что N (со) зависит от частоты со. Кривая зависимости модуля N (со) КПФ звена (системы) от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) этого звена (системы). АЧХ апериодического звена определяется выражением (2.91). 2. (со) = ср, 0 ... 19 20 21 22 23 24 25 ... 143
|
