Раздел: Документация
0 ... 33 34 35 36 37 38 39 ... 143 Наряду с прямыми методами определения переходной функции разработаны косвенные методы оценки (критерии) качества, позволяющие сравнительно просто без решения уравнения системы приближенно судить о показателях качества системы. Основные косвенные методы можно разбить на следующие группы: частотный метод; методы, основанные на изучении распределения нулей и полюсов передаточной функции; интегральные методы. 4.2. Определение переходной и установившейся составляющих ошибки методом разложения ее изображения на элементарные дроби О показателях качества системы в переходном и установившемся режимах можно судить не только по изменению управляемой величины Р (t), но и по изменению ошибки 6 (t), так как 6 (t) — a (t) — р (t), а в частном случае при a(t) = l(t) Q(t) = 1 — р (f). Анализ ошибки дает непосредственный ответ о точности системы в переходном и установившемся режимах и позволяет определить пути уменьшения 6 (t). В случае необходимости кривая переходного процесса р (t) может быть построена на основании формулы р (t) = 1 — 6 (t) или в общем случае — формулы р (t) = a (f) — р (t). Рассмотрим один из методов определения 6 (t) — метод разложения изображения ошибки системы на элементарные дроби. В соответствии с формулой (2.61) изображение ошибки 6 (р) = Кв (р) сс (р). Обычно передаточная функция системы по ошибке Кв{Р)--.oPm + m-1+ - +cm lP + cm"W (4Л) где v — порядок астатизма системы; Dq (р) и Fn (р) — сокращенные обозначения полиномов числителя и знаменателя Кв (р), и изображение по Лапласу задающего воздействия представляют собой дробно-рациональные функции. Изображение ошибки 6 (Р) = Кв (р) a (р) = De (р) Da (p)/Fe (р) Fa (р)(4.3) в этом случае также является дробно-рациональной функцией. Разлагая дробно-рациональную функцию на простые дроби, получим для простых (некратных) полюсов Кв (р) и а (р): е(р)= V Sft +V ii ,(4.4) где qk — полюсы изображения задающего воздействия а (р); р1 — полюсы передаточной функции системы по ошибке Кв (р)- При простых полюсах qk и pt Bk =;At= D?WD**> ,(4.5) где Fa ы = da (p)/dp \p=gk,Fe (fi) = dfe (Р)/ф i p=p,. В соответствии с формулой (4.4) ошибка (функция времени) системы u.m 6(0= £ Я** + S e"f* = 9B (0 + 6n (0,(4.6) ft=l1=1 т. е. ошибка состоит из двух составляющих цm мо = Е S*eV и 6п(0 = £ Де.(4.7) Составляющая 0В (0 при аналитическом решении уравнения есть частное решение и представляет вынужденную (установившуюся) составляющую ошибки. Она, как видно из формул (4.5) и (4.7), определяется полюсами qk изображения задающего воздействия (корнями уравнения Fa (р) = 0), а также передаточной функцией системы по ошибке Кв (р) и изображением задающего воздействия а (р). Величина 0П (t) представляет собой переходную составляющую ошибки, вызванную изменением a (t), при нулевых начальных условиях (при / = —0, т. е. до момента изменения a (t)). Она определяется полюсами Pi передаточной функции системы по ошибке Кв (р) (корнями характеристического уравнения (р) = 0) и начальными значениями At ее компонент. Корни характеристического уравнения определяются известными методами (при необходимости с помощью ЭВМ), а начальные Значения компонент — с помощью формулы (4.5). Пример 1. Передаточные функции элементов системы (рис. 4.2, о): Кг(р) = kl = Dl (p)/F1 (р), Кг (р) = WiP + 1) Р = D2 (p)/F2 (р); £,• = 0,1, &2 = 20, Tt = 0,l с, DxiP) = ki. f1(p)=l, D2(p) = k2, F2 (p) = (TlP + 1) p. Определить переходную 6П (i) и вынужденную 8В (i) составляющие ошибки 6 (/) . системы при a (i) = 1 (f), т. е. а (р) = Up = Da (p)/Fa (р), гдеОа (р) = I, Fa (р) = == р. Построить переходную функцию системы f> (i). 1.Определяем передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии; Кр (р) = Кг (Р) К2 (р) = fcx WxP + 1) Р = D (p)/F (р). 2.Находим передаточную функцию системы по ошибке: 1F(p)(TlP + \)p E>q(P) К Ар) l+Kp(p) F{p)+D(p) T1p + p+klk2 Fe(p) 3. Записываем характеристическое уравнение замкнутой системы; Fe(p) = TlP2 + p + k1k2 = 0, ■ли после подстановки коэффициентов: Fe(p) = 0,lp2 + p + 2=.0 и определяем его корни: pt = —7,235, ря = *= —2,765. 4. Начальное значение t-fi компоненты переходной составляющей ошибки при а (р) = 1/р = Da (p)lFa (р) в соответствии с формулой (4.5): De(Pi)Da(Pi) (TlPl+l)Pl 27>t.+ l " (4.8) Подставив в формулу (4.8) соответствующие значения коэффициентов и корней р. = —7,235, ра = —2,765, получим: At ==[0,1 (- 7,235) + + 1]/[2 • 0,1 (— 7,235) 41] = — 0,635; ЭС М) -1
Рис. 4.2. Структурная схема САУ (а) и ее переходная функция (б). Л2 = [0,1 (—2,765) 4- П/[2 • 0,1 (- 2,765) 4- 1] = 1,635. Проверяем правильность вычисленных значений Ах и А2: At 4- А2 = — 0,635 + 1,635 = 1. 5.Переходная составляющая ошибки системы: 6П (t) = А{ 4- А2<?* = — 0,635е-7-235 4- 1,635е-2-766. *т ОЧС/ О "ТСС/ Компоненты —0,635е • и 1,635е • переходной составляющей ошибки изображены на рис. 4.2, б кривыми 1 и 2. Кривая 6П (t), полученная в результате сложения ординат компонент 1 и 2, показана цифрой 3. 6.Определяем 0В (f). Записываем уравнение Fa (р) = р = 0 и находим его корень qt = 0. В соответствии с формулой (4.5) находим начальное значение k-б компоненты 6„ (i): В Do(4k)Dg(Qk)(Tiqk+l)gk k FG{qk)Fa(qk)Tlflg +qk + k1k2 f Или после подстановки значения корня qx = 0: Bi = (Tto +1) 0/(0 4- о +M«) = о, т. е. вынужденная составляющая ошибки 6„ (f) = Bje1 = 0 и поэтому G (f) = fln (f). Переходная функция р* (f) = I — G (/) = 1 — 6П (f) изображена на рис. 4.2, б кривой 4. 0 ... 33 34 35 36 37 38 39 ... 143
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
