Раздел: Документация
0 ... 38 39 40 41 42 43 44 ... 143 или, если учесть, что аргумент произведения двух сопряженных ком плексных чисел равен нулю, то h = J [в„ W dt = \ 10П (/со) » dco. (4.20) Полученная формула называется формулой Рэйли. Таким образом, для определения интеграла /2 необходимо построить характеристику 10П (/со) 2 в функции со и найти площадь под этой характеристикой. Квадратичная интегральная оценка /2 может быть вычислена и другими методами. При определении 12 по формуле, предложенной А. А. Красовским [32], наименьшее значение квадратичного интеграла соответствует наибольшему значению главного определителя Гурвица, составленного из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы. Если наряду с изменением ошибки системы учитывать и изменение ее производных, то о качестве системы можно судить по интегральной оценке где Т — постоянная времени. Качество переходного процесса системы будет тем выше, чем меньше величина интеграла, определяющего интегральную оценку. Так как интегральная оценка зависит от параметров системы, то возникает задача синтеза оптимальных параметров системы, при которых достигается минимальное значение интегральной оценки качества. Методика синтеза таких параметров аналогична методике синтеза оптимальных параметров, минимизирующих среднее значение квадрата ошибки (см. гл. 7). Недостатком интегральных оценок качества является то, что они не позволяют определять прямые показатели качества системы. Добиваясь путем выбора параметров системы минимума интегральной оценки, можно иногда получить переходный процесс с большим перерегулированием и большим временем регулирования. Данный недостаток относится главным образом к интегральным оценкам, не учитывающим изменения производных ошибки. 4.5. Анализ точности САУ в установившихся режимах с помощью коэффициентов ошибок Как отмечалось, ошибка САУ в установившемся режиме является • одним из показателей качества системы. В случае медленно изменят ющихся задающего или возмущающего воздействий ошибку системы в установившемся режиме удобно определять с помощью коэффициентов ошибок. Ошибка следящей системы 0 (р), вызываемая изменением задающего воздействия а (р) в соответствии с (2.61), может быть определена оо  (4.21) о с помощью передаточной функции системы по ошибке Ква (р) в(р)Ке*(р)а(р).(4.22) Предположим, что Ква (р) можно разложить в степенной ряд относительно р, сходящийся, по крайней мере, при малых значениях р: Ква (Р) = А> + DlP + (V,!) D2pa + (V3!) D3 +(4.23) Тогда, согласно (4.22), можно записать 6(р) = D0a(р) + Zpa(р) + D2p2a(р)+ ... . (4.24) Этот ряд сходится в окрестности точки р = 0. Поэтому будет сходиться и оригинал ряда (4.24) при t ->■ со, т. е. ряд, в который можно разложить ошибку системы в установившемся режиме: 0уст (0 = D0a (t) + D,+-Р- + - • • . (4.25) Отсюда видно, что в общем случае ошибка системы в установившемся режиме состоит из ряда слагаемых, пропорциональных как входному сигналу а(0, так и его производным. Слагаемые, входящие в ряд ошибок, обычно называют так: D0a (г) — ошибкой по положению (по сигналу); Djda (t)ldt — ошибкой, вызываемой скоростью; (D2/2!) d2a (t)/dt2 — ошибкой, вызываемой ускорением задающего воздействия и т.д., а постоянные D0, Dlf Ь,- — коэффициентами ошибок. Ошибки в установившихся режимах, вызываемые изменяющимся задающим воздействием, называются динамическими. Зная коэффициенты ошибок и закон изменения задающего воздействия a (t), с помощью формулы (4.25) можно определить ошибку системы в установившемся режиме. Коэффициенты ошибок выразим через параметры системы. Передаточная функция системы по ошибке связана с передаточной функцией Кр (р) разомкнутой системы выражением Ква{р) = 1/1! +Kv(p)].(4.26) Учитывая, что передаточная функция системы с астатизмом v-ro порядка в разомкнутом состоянии имеет вид kv(boPm + blPm-1+ ■-• +bm lP + bm) D(p) *р W«уг* + а,р*-1 +■■■+ ak lP + ak) F (р) где bm = 1; ak = 1, передаточная функция по ошибке в соответствии с выражением (4.26) будет равна: Ква(р)= F{p*+D(p)- = ,"-1 J- ... -1- п. гУ+1 I п. „v авРп + ajp"-1 + • • • + «ft ,pv+1 + до V" + <hPn~l + ■ ■ ■ + едЛ + bjT + b[pm-1 + + bm lP + bm aoPn + a"-1 + ••■ + «A lPv+I + akpv (4.27) где n = k-t-v; bi = btkp; ak=l; bm = kp; коэффициенты с равны сумме коэффициентов а и Ь при одинаковых степенях р. При v = 0 (статическая система): сп = bm + ak = kp -f 1; c„ i = bm i 4- cik-i = kpbm-i + cik-i и т. д. При v = 1 (астатическая система с астатизмом 1-го порядка): £fl bm == kpr c„ i = bm-\ + ak = kpbm-i + ak; Cn-2 = bm-2 + Gft-1 = kpbm-2 +И Т. Д. На основании (4.23) и (4.27) можно записать D0 + D1p+(1/2\)D2p* + (1/3!)D3p*+ щрп + alPn~l + - • • + Н-УМ + a*PV (4.28) (4.29) 4"1 + -•• +с„ 1/?4-с„ откуда «оР" + агР"~1 + • • • + «ft-ipv+ 4- akpv (4.30) = [Со + DlP + (D2/2!) р2 4- (D3/3!) р* + ■■■] (d0pn + Cxpn~x + ... • -• +сп 1Р + сп).Г4.31) - Раскрывая скобки в правой части полученного выражения и приравнивая коэффициенты правой и левой частей при одинаковых степенях р, можно получить систему уравнений, из которой затем можно определить коэффициенты ошибок через коэффициенты с и о уравнения САУ. Значения коэффициентов ошибок будут различными для систем с различными порядками астатизма. Найдем сначала коэффициенты ошибок для статической системы (v = 0). Приравнивая члены левой и правой частей выражения (4.31) при одинаковых степенях р и учитывая, что v = 0, получаем следующую систему уравнений: при р* ak = cnD0;1 при р ak-i = c„ iD0 4- c„Dx и т. д., из которой можно определить коэффициенты ошибок для статической системы. Из первого уравнения находим D0 = aklcn или, если принять во внимание, что ak = 1, а также, что для случая v = 0 в соответствии с формулой (4.28) с„ = kp 4- 1, то D0 = 1/(1 + kp). Из второго уравнения находим cn№p + l)2 Аналогично можно определить и другие коэффициенты ошибок. 0 ... 38 39 40 41 42 43 44 ... 143
|
