Раздел: Документация
0 ... 82 83 84 85 86 87 88 ... 143 «ни эс f«1 * к. * р -Я L Рис. 8.36. Структурная схема замкнутой импульсной системы. Определяем значение Кр (г, е) при в = 1: (ks + £4 )z2 — £3z *Р (г, О = (8.71) (г - I)2 где ks = ft„vrftj; ft4 = lyT2. Подставив значения Кр (z, е) и /Ср (г, 1) в выражение (8.65), получим дискретную передаточную функцию замкнутой импульсной системы: Лр(г, е)(fc3 + fc4e)z2 + (£4 — £3 —/г4е) г (2> е)~ 1 + z-/Cp (г, 1) (z - I)2 + г" (fe, + 64) г2 - £3г] = (fe3 + М г2 + (й4 — fe3 — V)z г2— (2 — /г3 — /уг + 1— k3 b2 (e) z2 + ft, (e) г (8.72) (8.73) CjZ2 + CjZ + c0 где b0 (e) = 0; 6, (e) = k4 — ks — £4в; ft2 (в) = fe3 + £4e; c0=l— ks\ c1 = — (2—ks — ki); c2=l. Пример8. Определить дискретную передаточную функцию по ошибке Kq (г,—0) импульсной системы, рассмотренной в примере 7. Передаточную функцию системы по ошибке получим, подставив значение Кр (z, 1) из (8.71) в (8.69): 1 (г —I)2 /Се (г, —0) =-=-----= 1 + г"1 Кр (г, 1) (г 1)" + г"1 [(А3 + А4) z2 - ktz] = (г-1)а г2— (2 — ks — kt)z+l — ks 8.7. Анализ устойчивости импульсных САУ Условие устойчивости замкнутой импульсной системы Как и в теории непрерывных систем, для определения устойчивости импульсной системы достаточно исследовать характеристическое уравнение замкнутой системы. Если имеем передаточную функцию замкнутой импульсной системы /С, {г, е) = ftp (г, в) = Ьт (в) г" + У-, (в) г"1"1 + - - - + (в) Р3(г, в) 1+г-/Ср(г, 1) то характеристическое уравнение получается приравниванием к нулю его знаменателя: Fa(z) = cnzn + Cn-.tf"-1 + ■■■ +с0 = 0. (8.74)   Рис. 8.37. Примеры расположения корней характеристического уравнения устойчивой (а) и неустойчивой (б) импульсной системы. Пусть корнями характеристического уравнения являются zlt za, ... ,., z„, тогда переходная составляющая решения Вп [г] = Агг\ + А2г+ ■ • • + Ajn, {г = t).(8.75) Из формулы (8.75) видно, что Вп [г] стремится к нулю при г со только тогда, когда все корни z{ характеристического уравнения по модулю меньше единицы, т. е. когда zt <; 1. Отсюда можно сформулировать следующее условие устойчивости импульсной системы: импульсная система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения (8.74) замкнутой системы будут лежать внутри круга единичного радиуса. Система, не удовлетворяющая этому условию, является неустойчивой. Примеры расположения корней устойчивой и неустойчивой импульсных систем в плоскости корней z показаны на рис. 8.37, а, б соответственно. Если передаточная функция замкнутой импульсной системы задана в виде формулы (8.66) /Ср (я, е)D* (q, е) Кз (q, е) = 1 +е-%,((?, 1) П («?) (8.76) то характеристическое уравнение можно получить, если знаменатель приравнять нулю: Fl(q) = 1 + е-%(q, 1) - с + c„ ,e("-1)ff + ... +с0=0. Условием устойчивости будет расположение корней qt этого уравнения в левой полуплоскости корней q. Последнее уравнение является трансцендентным и его исследования представляют собой сложную задачу. Критерии устойчивости импульсных САУ Для определения устойчивости импульсной системы на практике обычно не вычисляются корни характеристического уравнения, а применяются косвенные методы исследования устойчивости. Критерии устойчивости, разработанные применительно к непрерывным системам, являются критериями расположения всех корней характеристического уравнения замкнутой системы в левой части плоскости корней  Плоскость р (или а). Условием устойчивости импульсной системы является расположение всех корней характеристического уравнения замкнутой системы внутри круга единичного радиуса плоскости корней z. Поэтому, прежде чем пользоваться критериями устойчивости непрерывных систем для исследования устойчивости импульсных систем, необходимо выполнить соответствующее преобразование характеристического уравнения импульсной системы. Как известно из теории функций комплексного переменного, с помощью билинейного преобразования г ~ = (1 + w)l(\ — до) единичный круг в комплексной плоскости z отображается в левую часть комплексной плоскости до (рис. 8.38). Отсюда для того чтобы отобразить единичный круг в комплексной плоскости z в левую часть комплексной плоскости до, необходимо в характеристическом уравнении (8.74) вместо z подставить (1 + до)/(1 —до), т. е. После приведения к общему знаменателю и отбрасывания знаменателя получим новое характеристическое уравнение того же порядка: Рис. 8.38. Единичный круг плоскости г (с), отображенный в левую половину плоскости w (б) посредством билинейного преобразования. F3 (ш) = cnwn -f С„ !ДО" 1 + • • • + с0 = О, (8.77) где — коэффициенты, являющиеся комбинациями сумм и произведений коэффициентов с,-. Корням характеристического уравнения (8.74), лежащим внутри единичного круга плоскости корней z, будут соответствовать корни характеристического уравнения (8.77), лежащие в левой части плоскости корней ш. Отсюда условием устойчивости импульсной системы является расположение всех корней преобразованного характеристического уравнения (8.77) импульсной системы в левой части плоскости до. Таким образом, благодаря применению до-преобразования все критерии устойчивости, разработанные для анализа устойчивости непрерывных систем, могут быть использованы и для анализа импульсных систем. Аналог критерия устойчивости Гурвица. Как выяснено, условием устойчивости импульсной системы является отрицательность вещественных частей корней преобразованного характеристического уравнения замкнутой системы (8.77). Согласно критерию Гурвица, для того чтобы все корни преобразованного характеристического уравнения л-й степени1 Fa (ДО) = cnwn + cn-iwn~l + • • • + Со = О 0 ... 82 83 84 85 86 87 88 ... 143
|
