Раздел: Документация
0 ... 96 97 98 99 100 101 102 ... 143 Чтобы применить критерии устойчивости непрерывных систем к исследованию устойчивости ЦАС, преобразуем характеристическое уравнение (9.29), подставив г = (1 + ш)/(1 — ш). Преобразованное уравнение имеет вид F3 (w, т) = сп (т) ш" + сп-1 (т) а/1-1 + • • • + со (т) = О, где с, (т) i = 1, 2, п — коэффициенты, являющиеся комбинациями сумм и произведений коэффициентов с, (т). Для исследования устойчивости ЦАС при использовании преобразованного характеристического уравнения могут быть использованы критерии устойчивости, разработанные применительно к непрерывным системам. Как видно из преобразованного характеристического уравнения ЦАС, коэффициенты уравнения, а следовательно, устойчивость системы зависят от времени чистого запаздывания т. Пример 4. Исследовать устойчивость ЦАС (рис. 9.20,6), передаточные функции которой в замкнутом состоянии определяются выражениями (9.26) и (9.27). В соответствии с этими выражениями характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид где Fa (г, т) = с3 (т) г3 + с„ (т) z2 +сг (т) г + с„ (т) = 0, с3 (т) = 1; с2 (т) = kT [(d1-1 - 1) т) + 1 — г] - 1 — d; (9.30) сх (т) = kT [(1 + d) т — d + т) (1 + d — 2dx~x)\ + d; с0 (т) - kT [г, (d1 - d) - dx].? Чтобы получить преобразованное характеристическое уравнение, подставим 2 — (I + w)l(\ — w) в (9.30): * с * - й -§±£+с, и ii±i+cl и £±g.+Со й=о. [И fg (ш, т) = с3 (т) ш3 + с2 (г) ш2 + с, (т) ш + с0 (т) = 0,(9.31) Cg (г) = с3 (т) — с2 (т) + с, (т) — с„ (т); ci (т) = 3 с3 (т) 4 с0 (т) — с2 (т) — сх (т); с[ (г) = 3 [с3 (г) — с0 (т)1 — с2 (г) — с, (г); с0 в) = с3 (т).+ с2 (т) 4- сг (т) 4- с0 (т). Определим устойчивость ЦАС, используя аналог критерия устойчивости Гурвица, Главный определитель Гурвица где Л3 = с2 (т) с0 (т) О с3 (т) с] (т) 0 0 4(т) с0(г)
кт 4
0Л 0,4 0,6 a 0,8 if 6 S в 10 r/rf Рис. 9.22. Области устойчивости ЦАС на плоскости параметров kT и т (а) и параметров kT н Г/Г, (б). Система будет устойчива, если при с3 (т) = с2 (т) — с2 (т) + с, (т) — с0 (т) > О всеопределители Гурвиця будут больше нуля: Аз = с0 (т) cj (т) cj (т) — с3 (т) Сд (т)] = с0 (т) Д2 > О, Д2 - с2 (т) с\ (т) — с3 (т) с0 (т) > 0; Дх = с2 (т) > 0. Подставив значения коэффициентов с{ (т) в соответствии с формулами (9.30) и (9.31), получим: с3 (т) = 2 (1 + d) + kT [2tj (1 + — 2d-*) + (««+ ») (2т - 1)] > 0; Д2= 1 — d — kT [d2(t]d-t — t) + T)4-ri— rjd1-11 — d4-Tj — —(*7V 4(d-Jl - 1) -T] [(1 -d) (T + ifl - 1]> 0; Д1 = 4 4- W [4tj (d, t — d) — 4dT 4- d — 1] > 0; с0(т) = £Г(1 —d)>0 или kT>0. Приравняв нулю cg (т), Д2 и Alf получим уравнения, определяющие границы устойчивости, 2(\+d) + kT [2т (1 4- d -2d1-7) + ( + 1) (2т- 1)] = 0; 1—d — kT [d2 (ткН — т + т) 4- т) — T)d1 x — d 4- т] — -(ЙГ)2 d т) (d-T — 1) —т] [(1 — d) (т + Tj) — 1] = 0; 4 4- АГ Г4т) (d1-* — d) — 4dx 4- d — 1] = 0.(9.32) В соответствии с уравнениями (9.32) иа рис. 9.22, а с помощью ЭВМ построены области устойчивости ЦАС иа плоскости параметров kT и т при TlTx = 0,5; 2,5; 5; 10; со, а иа рис. 9.22, б — на плоскости параметров kT и T/Tt для значений т = 0; 0,1; 0,15; 0,3; 1. Если точка с параметрами kT, т (рис. 9.22, а), либо kT, TlTt (рис. 9.22, б) находится в области устойчивости, то система с такими параметрами устойчива. Анализ качества переходного процесса ЦАС Для построения кривой переходного процесса ЦАС без учета квантования по уровню можно использовать методы, разработанные для импульсных систем. При этом необходимо лишь учитывать влияние чистого запаздывания т. Рассмотрим особенности метода разложения 2-изображения переходного процесса 6 (г, е) в степенной ряд по г~1 (см. п. 8.8) для построения переходного процесса ЦАС. В соответствии с формулой (9.21) изображение переходного процесса ЦАС В(2,е) = /Сз(2,е)2-1а(2, 1). Особенностью ЦАС при наличии запаздывания т является то, что значения Кя (z, е) для случаев 0<г<хит<£<1, как видно из выражения (9.28), отличаются. Поэтому и изображения В (г, е), соответствующие указанным периодам времени, будут различны: для периода времени 0 е < т D„ (z, е, т) , В(г,е)= а\ г-а(г, 1) = Fз (г, т) 4 (в, т) г* + (е, т) г*"1 + ■•• + d0 (в, т) е, (т) г + (т) г"1 + ... + е„ (т) (9.33) для периода времени т е < 1 £> (г, е, т) , B(z,e) = l 1 z-la(z,l) = F3 (z, т) = 4(в.у + 4--1(!;-1+---+(е.т) „(9 34) Для построения переходного процесса ЦАС воспользуемся рекур- j рентным соотношением (8.83), позволяющим определять переходные процессы импульсных систем: р [s + J — k, е] = JL lalks (e) — J P P + — *. el e/-s+.J, где fe и / — показатели степени числителя и знаменателя В (г, е). С учетом выражений (9.33) и (9.34) рекуррентное соотношение применительно к ЦАС принимает вид: для 1 = s + I — & + еите<;1 р* [s + I — k, el = —U b;, s (e, t) — V В [i -f- /— k, e] e,-,- (т)1; ; (9.35) для / = s + / — Н«и0е<т 6 [s + / - k, e] = -4- Uks (e, x) - v В [i + / — £, e] e, s+l- (x)l. (9.36) 300 0 ... 96 97 98 99 100 101 102 ... 143
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
