Раздел: Документация

0 ... 105 106 107 108 109 110 111 ... 177

вать (например, если вы решаете дифференциальное уравнение прямым интегрированием), При атом С следует добавлять в выражение ответа самостоятельно.

Находить первообразные Mathcad умеет довольно неплохо. 99% встречающихся на практике задач будет успешно решено изучаемой программой (естественна, при условии. что интегрируемая функция имеет первообразную в элементарных функциях). В отличие от решения уравнений, одинаково успешно можно проинтегрировать рациональную функцию, иррациональную функцию, функцию с логарифмом или тригонометрическую функцию Находить первообразную можно и для функций с буквенными коэффициентами. В общем, без всяких преувеличений, возможности Mathcad в области аналитического интегрирования заслуживают похвалы. Однако это не значит, что можно навсегда забыть про утомительный поиск нужной первообразной а толстых математических справочниках. Увы. но в ряде случаев с них прилетел сдувать пыль.

□В Mathcad встроена обширная библиотека неопределенных интегралов. Однако она все же уступает по объему лучшим сборникам формул. Также вполне вероятна такая ситуация, что программа просто не сможет соотнести фугткиию в том виде, в котором вы ее предоставите, с имеющейся в библиотеке формулой (все-таки это довольно интеллектуальная задача). Поэтому, если первообразная не будет найдена, попробуйте тождественными преобразованиями и заменой переменных упростить вид функции. Если же это невозможно - доставайте с полки справочник.

□Результат интефировання в Mathcad может представлять собой огромное н не поддающееся упрощению выражение. Также в пего могут входить функции, мало что говорящие обычному инженеру или физику (особенно символьный процессор «любит» обратные гиперболические функции). Формулы же в справочниках обычно оптимизированы и содержат лишь базовые функции. Во многих случаях упрощение может быть проведено и в среде Mathcad путем замены сложных для восприятия функций на аналитические выражения для них.

□Mathcad совершенно не умеет интегрировать функции, первообразные для которых представляют собой рекуррентные соотношения, ряды, произведения.

Таким образом, если окажется, что Mathcad не сможет иайтн первообразную нлн выданное программой выражение слишком сложно, не опускайте сразу руки. Очень даже вероятно, что старый добрый справочник поможет вам лучше современной программы. Если же возиться со справочником не хочется или необходимой формулы в нем не имеется, можно попробовать «подсказать» Mathcad. Для этого можно выполнить замену переменных (например, чтобы избавиться от иррациональности) или, если ответ содержит сложные для восприятия функции, подставить вместо них их аналитические выражения. В примере 10.2 показаны наиболее типичные случаи неэффективного нахождения Mathcad первообразной, а также то, как в подобных случаях нужно действовать

Пример 10.2. Случаи неэффективного нахождения первообразной

Следующий интеграл программа не смогла подсчитать и возвратила в качестве ответа исходное выражение без каких-либо изменений.

Значение данного интеграла находим в обычном справочнике доволыш небольшого объема [16):

I 1

---

. С . П 2V . ( х fl-2 П-2

1гДх + Vх ~" а / dx = x-Jn\x + tJ х - а /- \/ х - а +

Если справочника с интегралами пол рукой ист или если первообразной для нужной функции в нем не имеется, можно л опробовать « помочь» символьному процессору, заменой переменных приведя подынтегральное выражение к более простой форме, В нашем случае замену необходимо осуществить так, чтобы из выражения исчезла иррациональность, Для этого введем новую переменную ь

Выразим переменную к через переменную t:

/1 2 , 1 a2 + t3 х + - а = t solve,х ->---

2 t

Найдем связь между dxHdt. Очевидно, что dx-d(x(t))-x(t)dt. Определим х№-

d 1 а + t ,.. -1 а -1

----simplify ---

dt2 t2 t2

Заменяем соответствующее выражение от х па t, a dx на x(t)-dt. Находим первообразную: Г

fn(t) dt factor

1 a2ln(t) + *2 + t2-ln(t) - t2

Выполняем обратную подстановку, возвращаясь к переменной я:

1 82-to(t) + a2+t2-ln(t)-t2

substitute

2 2 ,1 = х - а

21

Полученное в результате подстановки выражение мы не приводим, так как оно слишком громоздко для книжной страницы. Однако буквально несколькими действиями его можно преобразовать к той простой форме, которая используется в справочнике.

Для следующего интеграла Mathcad результат находит — но и виде чрезвычайно громоэдкогон сложного выражения. Упростить его посредством оператора simplify но получится. Однако, заглянув в справочник, мы обнаружим для данной функции простую и удобную первообразную.

-в

11

ain(x) , п - 1

dx-

соз(х)

-[ + tan

---

Формула из справочника:

зш(х) соз(х)п

dx =

(п - l)cos(x)

П-1

+ с

Впрочем, в случае приведешюго интеграла результат все же можно упростить. Для этого нужно правильно сделать замену. Очевидно, что следует перейти от половинного аргумента к целому, от «тяжелого» такгеяса — к простым синусу н косинусу. Для этого используем известную «школьную» формулу tg(a/2)-( l-cos(a))/iin(o>.

sin(x)

..и cos(x)

dx

substitute ,tan

1 -cos(x) sin(x)

cos(x)

1-n

simplify

a- I

При вычислении следующего интеграла первообразная выражается с использованием функции Rtanh — гиперболического арктангенса (более корректное название этой функции — ареатан-генс), Функш1я эта достаточно экютическая. так что ее налнчнев первообразной мало информативно для специалиста нематематического профиля.

./г

dx

atanh

2-х"

lb-Я

Ответ в более простой форме можно найти в справочнике Однако можно попытаться упростить первообразную Я самостоятельно, заменив арсатангенс на явное выражение нз более элементарных функция. Для этого можно опять же порыться в справочнике. Но лучше справиться с проблемой своими силами. Так как а pea тангенс — это функция, обратная гиперболическому тангенсу, то ее можно найти, выразив из задающего его выражения аргумент (проще говоря, найдя зависимость х(у) из известной зависимости у(х)). Легче всего это сделать с помощью оператора solve, решив соответствующее уравнение:

- г

у -у е + «

solve, у simplify

—ki + z)(-i + x)]

1 + г

-Id

-1

1 + z

[ (] + z).( l + z)]

Мы получили два решения. Но какое из них является выражением ареатангенса? Это очень просто определить, зная, что аргумент ареатангенса (то есть гиперболический тангенс) изменяется а интервале от -1 до 1, При этом условии второй из полученных корней является некорректным.

0 ... 105 106 107 108 109 110 111 ... 177