Раздел: Документация
0 ... 106 107 108 109 110 111 112 ... 177 так как логарифмируемое выражение в нем является комплексным для любых г. Наоборот, логарифмируемое выражение а первом корна всегда действительное и положительное — следовательно, нужно использовать именно его. Путем элементарных преобразований выражение ареатангевса можно упростить: atanhU) Подставив полученное выражение а место функции atanh в выражение первообразной, получим следующую довольно простую формулу: 2 tlx -4 <!-.) 4*
Убедиться, что мы не сделали ошибки, можно, продифференцировав полученную первообразную. Подобно тому, как мы избавились от арезеинуса, на результатов символьного интегрирования можно убирать н другие «сложные* функции. Исключение составляют так называемые интегральные функции, которые не выражаются через сочетания функций элементарных. О данном типе функций мы поговорим чуть ниже, В качестве последнего примера, демонстрирующего то. что Mathcad заменяет справочник и голову далеко не всегда, мы приведем интеграл, первообразная которого выражается через сумму общего вида. Mathcad рассчитать такой интеграл не может СС х+ 1 dx х+ 1 dx J В справочнике же первообразная для данного интеграла приводится: ав-1 Г х+ I i-» к =0 ..к о-к (-1) * Ы)п-ш()х + l) + С Первообразные для функций подобного типа нужно сразу брать иа справочника. Mathcad их не найдет лаже при наличии помощи с вашей стороны Для всех ли функций можно найти первообразную? В математическом анализе дока зывается, что для любой непрерывной функции существует первообразная. Однако ее далеко не всегда можно выразить как алгебраическое сочетание элементарных функций - показательной, логарифма, косинуса, синуса и т, д. Если первообразная не выражается черед элементарные функции, соответствующий интеграл называется «неберу щи мел». Какой результат будет получен, если попытаться найти н Mathcad неберущийся интеграл? Тут возможны два варианта. Во-первых, система может возвратить исходное выражение без каких-либо изменений. Во-вторых, ответ может быть выражен через подходящие интегральные функнии. Интегральные функции появились задолго до Mathcad и компьютеров. Они были введены для описания наиболее важных неберущнхея интегралов. Существовали таблицы, в которых приводились значения шггсфальиых функций для различных величин аргумента. В случае сложного неберущегося интеграла его сводили к сочетанию интегралов, которым соответствуют интегральные функции. Точно так же действует и Mathcad. Для примера приведем несколько интефалов, первообразные для которых выражаются через интегральные функции. Описание дащгых интегральных функций, а также список остальных используемых символьным процессором Mathcad функций можно найти в статье Special Functions and Syntax Used in Symbolic Results справочной системы программы, Пример 10.3. Вычисление неборущихся интегралов И нтегряяьнме синус (Si) и косинус (Ci): sin (х) dx -* S<x) cos(x) dx -> Cifx) Интегральная показательная функция (Ei) н интеграл вероятности (erf): — dx -у x Ei(1,-x) e dx -* erf (x) Интегралы Френеля (синус — FreanelS, косинус - FresneiC); I iV/dx-> --2 it 2 FresnelS 22-n FresnelQ Интефальные функции «знает» только символьный процессор Matbcad. В численных расчетах их использовать нельзя. Но что Делать, если нужно определить значение первообразной в точке или найти ее нули, построить график ее функции? Проще всего можно найти величтгу н 1гтегральной функции в точке. Для этого следует присвоить аргументу нужное значение и задействовать оператор Float панели Symbolic (Символьные). Сложнее определить нули первообразной, в выражение которой входят интегральные функции, а также построить се график. Чтобы решить эти задачи, следует заменить интегральные функции соответствующими им явными выражениями (найти эти выражения можно в справочной системе Mathcad, а также в сборниках математических формул). Обычно интегральной функции соответствует определенный интеграл с неявным верхним пределом, подсчитать который можно численно. Реже интегральные функции выражают через бесконечные ряды. В атом случае создать функцию, с нужной точностью приближающую первообразную, можно, заменив бесконечный ряд конечным. Количество членов в этом ряду должно зависеть от точности, с которой первообразную следует приблизить. Найти подходящее количество членов можно, и не обращаясь к специальным формулам. Для этого следует последовательно увеличивать количество членов ряда на 1 и сравнивать результаты, полученные при прошлом и данном вычислениях Показателем того, что нужная точность достигнута, будет то. что результаты окажутся равными вплоть до последнего интересующего знака. Пример 10.4. Найти первообразную для функции е /х. Определить с точностью до 5 знаков мантиссы: а) значение функции первообразной в точке х=1; Ь) при каких х первообразная равна -1. Построить график функции первообразной Искомый интеграл является неберущимся. Первообразная для него выражается с помощью интегральной показательной функции Ei: Г - х -dx-* -Ei(l.x) х Найдем приближенное значение Ei в точке х-1 с точностью до пяти знаков: -Ei(lJ) Пое!,5 -» -.21938 Чтобы решить остальные поставленные в задаче проблемы, нужно создать алпрокс1Гмнрующую Ei функцию. Для этого необходимо знать соответствующее Ei явное выражение. Найти его можно в справочной системе Mathcad. ш г-п11 п Bi<l.x) = -y-ln<JO- У * *— п-п! п= I Постоянная у 8 Данном выражении - это константа Эйлера. Вычислить ее приближенное значение можно с использованием оператора float: у float, 5 -» .57722 Описанным выше способом определяем, что точности в пять знаков мантиссы можно достичь, заменив бесконечный ряд в выражении для Ei на ряд на восьми членов. Тогда функция, приближающая интегральную показательную функцию, будет иметь вил: 8 ( 11° й1 Ш(х) := -0.57722- 1л(х) - V К } * 1 пп! и = I Данная функция позволяет вычислять приближенные значения Ei столь же эффективно, что н оператор float: -Eld) = -0.2 J938 Чтобы пай т. при какой величине аргумента первообраз нал лрнннмае! значение -1, численно решаем соответствующее уравнение, применяя функцию find. Тис как мы должны получить ответ с точностью до пяти знакон. уменьшаем значение TOL до 10" f(z) EKz) - 1 TOL:=I0z:=l root(fi»,z) = 0.264736El(0.264736)» 1 0 ... 106 107 108 109 110 111 112 ... 177
|
