Раздел: Документация
0 ... 107 108 109 110 111 112 113 ... 177 Строим график первообразной на промежутке от 0 до 2 (рис. 10.2).  Объективно говоря, в случае численных расчетов интегральные функции ничем не отличаются от функций элементарных. Для подсчета как первых, так и вторых применяются приближенные методы вроде использования аппроксимирующего ряда или численного интегрирования. Вообще, с приходом эры компьютеров разделение функций на элементарные и сложные потеряло смысл, Для машины все функции равны - и вычисление синуса обычного ничуть не проще, чем вычисление синуса интегрального. Разница между сложными и элементарными функциями имеется лишь при про вед е-н ин расчетов аналитически 10.2. Аналитическое вычисление определенного интеграла Помимо нахождения неопределенного интеграла, в Mathcad существует возможность вычисления и определенного интеграла. Для этого следует использовать специальный оператор Definite Integral (Shift+7) панели Calculus (Вычисления): Оператор содержит четыре маркера, заполняются которые в полном соответствии с принятой в математике формой. В отличие от неопределенного интеграла, определенный может быть вычислен как аналитически, так и численна. Естественно, символьный метод точнее численного, выдаваемый им аналитический ответ информативнее десятичной дроби численного результата, однако он применим в случае далеко не всех функций. Используемые же в Mathcad численные методы практически универсальны - но им присуши существенные недостатки по сравнению с аналитическим подходом. Поэтому численно подсчитывать определенный интеграл стоит лишь, если найти его значение не сможет аналитический процессор. Даже если первообразная выдается в виде громоздкого выражения, лучше пересчитать его в десятичную дробь с помощью оператора float или оператора численного вывода чем проводить интегрирование численно (точность при этом будет выше, а также уменьшится время расчета (что важно в случае кратных интегралов)). В этом разделе мы обсудим особенности символьного вычисления определенного интеграла. Применению численных методов будет посвящен следующий раздел. Чтобы вычислить определенный интеграл аналитически, необходимо заполнить все маркеры соответствующего оператора, а затем ввести оператор символьного вывода 4>>. В случае аналитического интегрирования пределы могут быть как числовыми, так и буквенными или даже быть представленными целыми выражениями, Кроме того, можно использовать символ бесконечности (CtrU-Shift+Z) (об особенностях вычисления несобственных интегралов мы поговорим чуть ниже). Если выражение ответа, возвращенное оператором определенного интеграла, слишком громоздкое, его следует попытаться упростить с помощью оператора simplify. В отдельных случаях для упрощения нужно задействовать операторы factor, expand и collect. Пример 10.5. Аналитическое вычисление определенных интегралов Нахождение определенных интегралов с численными пределами: I ein(x)-cos НИ i 1 + cos(x) - dx-» - 22-л 24 Вычисление определенного интеграла с неявно заданными пределами. Чтобы получить ответ в компактной форме, возвращенное оператором интегрИк>вапия иыраженис следует упростить с помощью оператора simplify: fCt+P I 1 + sin(x) dx simplify sin GO a-B cos(p)+ sin(a) При вычислении определенного интеграла всегда следует помнить, что все числа и функции Machcad рассматривает в комплексной области, поэтому, неправильно задав пределы, можно получить комплексное значение. Например: 1 чГх —- dx-* 2ехр(1) - 2cxp(i) = 4.356- 1.683i Vx - I Если выражение результата получается слишком сложным или если оно содержит функции, то его нужно пересчитать в десятичную дробь. Для этого можно или задействовать оператор float, шш ввести после ответа оператор «-»: f -- . dx-» — atanbf- l-З2 =0.103 (Л №74 15 W -1 Аналитически вычисляя определенный интеграл, Mathcad использует теорему Ньютона-Лейбница. То есть программа находит функцию первообразной F(x), затем вычисляет разность F(h)-F(a), где а и Ъ —пределы интегрирования, после чего упрощает полученное выражение. Это означает, что все особенности нахождения неопределенного интеграла, которые мы обсудили выше, можно перенести на случаи аналитического вычисления определенного интеграла. Например, если символьный процессор не находит значения интеграла, нужно -.му < помочь», выполним упрощающую полстаном-ку. Также в результат могут входить шгтегральные функции, оперировать с которыми нужно точно так же, как при нахождении неопределенного интеграла. Пример 10.6. Вычисление определенного интеграла от функции, первообразная для которой не может быть найдена Mathcad 8 замкнутой форме Пусть перед нами стоит задача аналитически рассчитать следующий определенный интеграл: Г2 dx Символьный процессор выдает в качестве результата интегрирования следующее громоздкое выражение (которое, правда, может быть пересчитано в десятичную дробь оператором float): . (з2-.)е IlipticK 14 12-Ъ -ElliptkPi 2 3 3 4 2 3 -э1 (loai.h -* 1.04721 -3 + 2-3* В полученном ответе присутствуют практически неописанные в справочной системе Mathcad интегральные функции EllipcicK и ElliptkPi. Чтобы узнать что это за функции, нужно обратиться к документации Maple (разработчик Mathcad компания Mathsoft не стала создавать свой символьный процессор, а купила процессор системы Maple). Здесь мм прочитаем, что ENipticK и EllipticPi - это полные эллиптические шгтегралы второго и соответственно третьего рода. Чтобы преобразовать ответ в более понятную для «простого смертного» форму, можно функции Elliptic К и Elliptic Pi заменить явными выражениями полных эллиптических интегралов второго и третьего рода в форме Лежандра: Pi(h,k) :- 1 G2 - i]-K 1-2* 4 1 2 3 44 1.047 -3 + 2-3 Вполне вероятно, то, что ответ был выражен Mathcad в незамкнутой форме с использованием эллиптических интегралов, связало с тем, что интегрируемая функция имеет слишком сложный вид. Стоит попробовать выполнить такую замену переменных, которая бы упростила ее. Введем переменную t, связанную с х следующим соотношением: 0 ... 107 108 109 110 111 112 113 ... 177
|
