Раздел: Документация
0 ... 108 109 110 111 112 113 114 ... 177 V8-»-i Из этого равенства, ограничившись действительным решением, «мдпдим t ..(.-гУ Так как ах(х<1»-х(0<1итонам нужно найти выражение производной x(t) по V. ч< -2 dt Заменяем в исходном выражении к па с, умножаем его на производную x(t), а затем фоиэводнм упрощение: -2 •и I simplify -» -2 В связи с тем что была произведена замена переменных, нужно пересчитать величины пределов интегрирования. Мы должны определить, какие значения принимает t, если х равен 0 и 2. Для этого присвоим выражению, связывающему xct. значения пределов н решим аналитически полученные уравнения: G-гУ. О solve, t 2-2 1 I solve, t Л-1я случая х-0 мы получили два значения t Какое из них должно быть использовано в качестве нижнего предела интегрирования? Это очень легко определить. Нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего. Для верхнего же предела было получено значение 0. Следовательно, использовать нужно отрицательное решение, Упрощенная в результате замены переменных функция будет с легкостью про интегри ро вала Mathcad: -2 — dt -к — -и I3 — п = -1.047 3 - 2-чД (s-.0! УОелнться is юм. что залача были решена перин, можно, пронеля интегрирование численно Приведенный пример показывает, как важно, используя Mathcad. не забывать математику. Ваше активное участие в вычислениях может помочь получить результат в тех случаях, в которых символьный процессор оказывается недостаточно интеллектуальным. Довольно тонкая особенность связана с интегрированием функций, зависящих от параметра. Дело в том, что то, будет ли найдено выражение результата и, если да, то в какой форме, зачастую определяется тем, какие значения может принимать параметр. Например, следующий интеграл при 0<к<1 является неберущнмея. Если же [к)>1, то его значение можно найти в замкнутой форме. 1 Jx Подобных примеров можно привести очень много. Поэтому всегда, когда вы проводите интегрирован не функции с параметром, указывайте, какие значения он принимает. Сделать это можно с помощью оператора assume (Принимает) панели Symbolic (Символьные). Информация о параметре указывается в его правом маркере следующими способами, □Если параметра принимает действительные значения (по умолчанию все нею вес т-м 1,1 воспринимаются Mathcad как комплексные величины), то а правом маркере assume нужно набрать: a—real*. В качестве знака равенства следует использовать логическое равенство (Bold Equal — CtrU-). Модификатор real вводится с панели Modifiers (Модификаторы), которая открывается нажатием одноименной кнопки панели Symbolic. □Если параметра всегда больше (меньше) действительного числа Ь, то в правом маркере оператора assume нужно наорать: *а>Ь> (*а<Ь*). □Если параметра принимает значения в действительной области от А до сто в правом маркере оператора assume указываем: *а-Realftange(bx)*. Здесь знак равенства — логическое равенство. Модификатор RealRange вводится нажатием соответствующей кнопки панели Modifiers. Приведем несколько примеров, показываюших, как важно в случае интегрирования функции с параметром указывать область изменения параметра. Пример 10.7. Интегрирование функций с параметрами При вычислении следующего интеграла без задания области изменения параметра а выражение результата получается громоздким и сложным для интерпретации: dx -к - -я-- (1+ 1).[(а+ !)(- l)J .(а -!)•[( +1Н8-1)] а - eoi(x) Но если нам известно, что параметр а всегда больше 1. ответ можно получить в куда более простой форме: я - ооя(х) dx assume,а > 1 a(a2-l) Еще более простой результат будет получен, если сообщить системе, что параметр а локализован в промежутке от -1 да» 1: ! t!x assume,а = RealRange(-l, I) 2 / л2 а — сов(х) Одновременно можно указывать области изменения сразу нескольких параметров подымтефаль-иой функции. Примером может быть интефал, задающий знаменитую В-функцню Эйлера. Если м? указать; какие знамении принимают параметры. Mathcad данную функцию не распознает: I ха (1 - х)3 dx assume ,а > О, В > О Beta(ct,p) Наиболее чувствительны к тому, как изменяется параметр полынтефальцой функции, несобственные интегралы. Следующий интеграл, являющийся разновидностью интеграла Эйлера,будет подсчитан, лишь если указать, что параметр а принимает значения от 0 до I: а-1 Р + х dx assume ,а = RealRange(0,1) I; i i (*-o)p - a+ I Если от функции с. парамеятюм вычисляется неопределенный интеграл, то указывать область изменения параметра не нужно, Это либо никак не повлияет на результат, либо будет ныдапо сообщение об ошибке: No symbolic result was found (He было найдено символьной) результата). В теореме Ньютона-Лейбница есть одно очень важное условие, которое символьным процессором Mathcad не всегда учитывается, Чтобы найти определенный интеграл для функции f(x) иа промежутке [а, Ь] как разность F(b)- F(a), первообразная F(x) должна быть непрерывной па этом промежутке. Каким бы это ни показалось странным, но области определения функции f(x) и се первообразной F(x) могут не совпадать. Например, f(x)=l/x определена на всей числовой оси, Исключая точку 0. Ее же первообразная F(x)*-ln(x) принимает действительные значения только при положительных х. Первообразная для f(x)-ctg(x) F(x)=ln(sin(x)) не определена на промежутке от Л до in - подобных примеров можно привести еще очень много. Прежде чем использовать теорему Ньютона-Лейбница, следует проверить, су шествует ли первообразная на всем промежутке интегрирования. Если этого не сделать, вероятность ошибки очень высока. Уны, но иногда Mathcad свойственно делать подобные ошибки. Рассмотрим конкретный пример. Подумаем, какое значение должен принимать следующий интеграл: 0 ... 108 109 110 111 112 113 114 ... 177
|
