Раздел: Документация
0 ... 111 112 113 114 115 116 117 ... 177 ти определенный интеграл от неограниченной функции, является то, что функция должна быть непрерывной и конечной в окрестности точки разрыва. Поясним вышесказанное на примерах. Функция <*> = имеет разрыв второго рода в точке х-1. Сходится ли интеграл от нее в интервале от 0 до 1? Очевидно, что данная функция ограничена и непрерывна на промежутке интегрирования. Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, мы должны выяснить только одно: конечна ли первообразная f(x) в левой окрестности точки х-1. Проверим это: I dx -* asin(x) Urn asin(x) -н> --к x~> ]~2 Первообразная конечна, следовательно, интеграл должен иметь конечное значение. Причем найти его можно как численно, так и аналитически: ,-1 1 dx= 1.571 11 . dx-* --л 2 0О Рассмотрим еще одну функцию, имеющую разрыв второго рода в точке х**0: х Будет ли сходиться интеграл от данной функции, вычисленный на интервале от 0 до 1 ? Посмотрим, конечна ли первообразная в правой окрестности точки х-0: 2х х Lirrj — -> -м Первообразная ие ограничена. Следовательно, расходиться будет и сам интеграл. — dx —► оо х2 Задача несколько усложняется, если точка разрыва лежит не на границе, а внутри интервала интегрировании. Чтобы подсчитать интеграл в этом случае, его нужно представить в виде суммы двух интегралов, у которых точка разрыва является верхним и, соответственно, нижним пределами интегрирования. Если оба эти интеграла сходятся, то сходится и интересующий интеграл. Если один из них сходится, а второй — нет, то однозначно можно сказать, что их сумма будет равна бесконечности. Если же оба интеграла расходятся, то все зависит от того, одного ли они знака. Если да, то суммарный интеграл также будет равен бесконечности с соответствующим знаком. Если же у них знаки противоположные, то вши икает неопределенность типа Интеграл при этом может быть как конечным, так и равняться бесконечности обоих знаков. Говорить что-то определенное про такие интегралы без дополнительного исследования нельзя. Однако если кривая симметрична относительно точки разрыва, то можно мысленно сокращать идентичные области. Рассмотрим, к примеру, интеграл от функции f(x)-1/x на промежутке от -I до 2. Очевидно, что площади, ограниченные кривой на промежутках от -1 до 0 и от 0 до 1 будут одинаковы, но противоположны но знаку. Значит, их можно отбросить и считать интеграл на промежутке от 1 до 2. При этом мы получим так называемое главное значение несобствешюго интеграла в смысле Кошн. Но сам несобственный интеграл не существует. В Mathcad можно подсчитывать интегралы от неограниченных функций как численно, так и аналитически. Аналитический подход имеет преимущества перед численным, так как он пояноляет получить явный ответ в случае расходящихся интегралов (численный метод при этом выдаст сообщение об ошибке, которое не несет никакой явной информации). Также прн аналитическом интегрировании интеграл не нужно разделять на два, если точка разрыва лежит в середине промежутка. Кроме того, символьный процессор «знает» значения значительного количества несобственных интегралов от функций, не имеющих первообразных в элементарных функциях. Пример 10.11. Аналитическое вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций Вычисление сходящихся интегралов р случае, когда точка рэрыва находился в центре интервала интегрин>ьанни (формула слева) и на era Гранине (формула справа): ,•1 I dx 1 dx- 1 Вычисление расходящихся интегралов с точкой разрыва на границе и в середине интервала. Во втором случае подсчет возможен, 1ак как функция с обеих сторон точки разрыва имеет один и тот же знак. га — CDC -» оо х2 — dx—* oo х2 -2 Символьны!! процессор может находить значения иесобстьенпых интегралов от ряда функций, не имеющих первообразных в замкнутой форме: — dx —► to х2 71 1 rl ln(cos(x))dx-> ~£-к-Щ2) atan(x) dx -> Catalan Константа CatAlan, которая была выдана системой прн вычислении правого интеграла, это константа Каталака. Найти се приблизительное значение с нужной точностью позволяет оператор float: Catalan float, 10 .9159655942 Как ужеутюмшшоо>выше, приимеющих иа шгтер- вале интегрирования точку разрыва второго рода и стремящихся к бес конечности разных знаков слева и справа от этой точки, возникает неопределенность. Поэтому Mathcad не вычисляет такие интегралы, возвращая исходное выражение без изменений. Впрочем, в отдельных случаях еим-нольный процессор визиращао! ив подобных интегралов конечное значение. По смыслу данная величина является главным значением интеграла в смысле Коши. Найти ее можно, если считать, что ллищалн под идентичными участками кривой сокрашажггея. Пример: К "б cot(x) dx — щ<2) 2 - п 4 Если представить данный интеграл в виде суммы двух интегралов с пределами от -я/4 до 0 и от 0 ло я/8, то получим неопределенность типа «•-»=: Г°Г* cot(x) dx —► -oo cot(x) dx -* ю 0 4 Найти главное значение данного интеграла можно, если считать, что площади под кривой на интервалах от -л/6 до 0 и от 0 до -к/6 равны по значению, во противоположны по знаку. Значит, их сумма равна нулю, а интеграл будет равен плошали, ограниченной кривой на промежутке от -д/4 до -ti/S: -К 6-1 cot(x)dx-> —1п(2) 2 -л Объективно говоря, то, что в некоторых случаях результатом вычисления расходящихся интегралов являются их главные значения в смысле Кошн, объясняется не интеллектуальностью апзли-тн чес ко го процессора Mathcad. Причина лтого в том, что при аналитическом вычислении интеграла программа не проверяет важнейшее условие применимости теоремы Ньютона-Лейбница, а именно непрерывность первообразной па интервале интегрирования. Подробно данная нробле-ма описана в разд. 10.2. Если нужно найти несобственный интеграл от функции, не имеющей первообразной в замкнутой форме, символьное интегрирование зачастую неэффективно. И этом случае нужно использовать численный алгоритм. В Mathcad встроен особый алгоритм, предназначенный для вычисления интегралов с точкой разрыва иа границе интервала интегрирования (в основе его лежит модифицированный алгоритм Ромберга, о котором вы можете прочитать в справочной системе Mathcad). Чтобы его задействовать, в контекстном меню оператора интегрирования выберите пункт Singular Endpoint {Неопределенный предел). Есть несколько важных осооенйосгея численного подсчета несобственного интеграла от неограниченной функции. 0 ... 111 112 113 114 115 116 117 ... 177
|
