Раздел: Документация
0 ... 130 131 132 133 134 135 136 ... 177 кривой будут идентичны участку, на котором лроштлось разложение. Очевидно, что для того, чтобы хорошо приближать периодическую функцию, аппроксимирующий подином сам должен быть периодической функцией с таким же периодом, как у приближаемой функции. Чтобы удовлетворить этому услоиию, нужно разложить функцию не по степеням х, а по тригонометрическим функциям. Полученный при этом ряд называется рядом Фурье. Он имеет следующий общий вид (для функций с периодом 2л); "О * jT.x) = — + (aCosfnx) -I- bnSin(nx)) n =0 В математическом анализе доказано, что погрешность приближения функции рядом Фурье минимальна тогда и только тогда, когда коэффициенты а, Ьи ап определяются следующим образом: if1 ГI г Эф = — Цх) dx ап = - Цх)сов(п-х) dx bn = — fi>)-sin(n-x) dx — it— it- л В Mathcad нет оператора наподобие series, с помощью которого можно было бы производить разложение функций в ряд Фурье. Однако это не значит, что данная проблема не решаема. Используя вычислительные возможности (грограммы, с ней вполне можно справиться. Как это сделать, показано и примере 12.12. Пример 12.12. Разложение функции в ряд Фурье Пус гь стоят задача — разложить на промежутке от -я до п и ряд Фурье функцию f(x)-x. Для этого создадим функцию Fourier(x, к), основываясь на приведенных выше формулах; fi» :=х Founrrtx, к):« — — j Цх).(нв(пх) dxcce(n.x) + J fl(»).iln(n.x) dx.«tn(iii) Чтобы получить ряд из к членов в символьном ниде. функцию Fourier следует вычислить аналитически. Найдем девять членов разложения f(x)-x й ряд Фурье; 21 z(x):- Fouriei(x, 9) factor 2-sin(x) - ma(2x) + — sin(3x)---sinf+x) ... 32 + .»ln(5x) - -5нНбХ) + уэ1п(7.х) --•tuu!8-x) + -sm(9x) Тригонометрические ряды сходятся медленно, а полученный - вообще на уровне знакопеременного гармонического. Поэтому точность приближения им функции при суммировании девяти членом разложения будет невысока: z(l) =0.988z(2) = 2.044 Т«, что деннти членов разложения явно недостаточно для качественной аппроксимации, можно уиидст ь. иостроин график (рис. 12.3). Что же делать, если функцию нужно аннрокснмиронать с высокой точностью? Идею получить необходимый дтя этого ряд в явном виде отбросим сразу (оперировать выражением из десятков, а то и сотен длеыснтов очень сложно). Можно поприбивать просчитать функцию Fontier численно Посмотрим, какую точность обеспечит суммирование 20,50 и 100 членов разложения: Fourier!-L. 20) = 4J.W47022 Fourier(-l,50) = -0.9946ЭЙУ Fourier{-l. 100) - -1.0003202214 id)  Рис. 12.3. Из-за медленной сходимости ряда девять членов — это слишком мало для хорошего приближения функции (обратите внимание на колебания, которые совершает кривая) В общем, если функцию нужно приблизить с точностью до 0.001 -0.0001, численный расчет вполне приемлем. Однако более высокой точности он обеспечить не может, что связано с погрешностью численных методов интегрирования. Ее, конечно, можно уменьшить, присвоив TOL минимальное значение. Однако при этом численные алгоритмы интегрирования перестанут сходится уже при о порядка 50. Если стоит задача аппроксимировать функцию рядом Фурье максимально точно, нужпо вывести формулу общего члена и использовать ее в сочетании с оператором суммы. При этом можно будет суммировать тысячи и даже миллионы членов разложения буквально за секунды. В нашем случае найти формулу общего члена будет очень просто, если вынести за скобку 2: f(x) =2 sin(x) sin(2x) sin(3x) sin (4x) sin(5x) — "-f. — " -+ 45 ..+ (-1) n+1 stn(n-x) На основании данной ([юрмулы создадим функцию, которая позволит суммировать произвольное количество членов ряда: F(x,k):=2- г ,.п+1 . , , (-1) smin\j п =0 Мронернм, какую точность аппроксимации обеспечит суммирование 1000,10000 и (0 000 000 (I) членов ряда: F(-l, 1000)=-0,998866428398192F(-l, 10000)= -1.00008257593928 F(-l, 10000000)=-1.00000000750972 Суммирование 1000 членов ряда Фурье для f(x)-x дает достаточную точность, чтобы можно было построить «правильный» график (рис. 12.4}. F(11,10001  Глава 13. Исследование функций и оптимизация Исследование функций различной степени сложности и построение их графиков является важнейшей задачей математического анализа, с которой приходится сталкиваться любому старшекласснику и студенту естественной специальности вуза. В основе методов исследования поведения функций как одной, так и многих переменных лежит вычисление производных (первого и второго порядков), пределов, а также (для функций нескольких переменных) решение систем уравнении. Изучив материал предыдущих глав, вы наверняка убедились в том, что с подобными операциями Mathcad иод вашим чутким руководством справляется весьма эффективно, поэтому длительную и, в общем-то, не требующую аналитического подхода процедуру исследования некоторой функции вы сможете провести с его помощью, затратив всего пару минут. Благодаря удивительным графическим возможностям системы вы без труда построите кривую или поверхность любой сложности, описывающую анализируемую функцию — график наглядно отражает особенности ее поведения, что может значительно упростить проведение исследования. В дампом разделе мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся в практикуме по высшей математике задачи, связанные с исследованием функций одной переменной: определением точек экстремума и перегиба, промежутков монотонности, выпуклости и вогнутости, нахождением асимптот. К сожалению, в Mathcad имеются встроенные средства лишь для отыскания максимумов и минимумов функций (особенностям их использования мы уделим внимание в соответствующем разделе), поэтому большинство этапов исследования функции в Mathcad придется проводить, используя классические формулы и определения. Пример 13.1. Исследовать функцию 13.1. Исследование функций одной переменной  и построить ее график 0 ... 130 131 132 133 134 135 136 ... 177
|
