    
Раздел: Документация
0 ... 143 144 145 146 147 148 149 ... 177 ных систем уравнений — это позволит повысить точность расчета или сэкономить время по сравнению с применением простого метода Рунге - Кутта. □ВиЫоег(уО,гОД1,М,0). Метод Булнрша-Штера. Использовать этот алгоритм стоит в том случае, если вы уверены, что функции решения вашей системы достаточно гладкие и плавно изменяющиеся При выполнении этого условия функция Bulstoer позволяет получать более точные решения, чем rkfixed. затрачивая на это меньше времени. Для корректного использования описанных выше функций система дифференциальных уравнений должна быть записана в векторном виде: YTx) = D(Y(x).x) где Y-(x) — вектор первых производных системы, D(Y(x),x) - вектор-функция, каждая строка которой содержит левую часть соответствующего уравнения системы. Кроме того, в векторной форме должны быть определены начальные условия: Y(x0) = yO Разобравшись с принципом приведения системы ОДУ к векторной форме, вы без труда сможете задать и параметры для рассматриваемых встроенных функций: □уО - вектор начальных условий; в нем вы должны определить Числовые значения искомых функций на левой границе-интервала изменения переменной; □tO — начальная точка для переменной; □И — конечная точка расчета; □Н — количество шагов, при котором численный метод будет решать систему; □D — вектор-функция, содержащая левые части уравнений системы. Должна быть задана как функция двух переменных: скаляра t и вектора у (то есть все искомые функции системы должны быть представлены как элементы одного вектора). Результатом работы приведенных функций является матрица, в первом столбце которой содержатся узловые величины переменной t, а в остальных — значения неизвестных функций системы, рассчитанные в этих точках. При этом порядок расположения столбцов с найденными величинами искомых функций определяется последовательностью, в которой они были занесены в вектору. Аппарат дифференциальных уравнений широко используется для описания не только физических, химических илн биологических процессов, но и различных явлений в медицине, экономике, демографии и множестве других современных наук. Зачастую при попытке решения той или иной системы уравнений можно получить совершенно неожиданный результат. В этом разделе мы рассмотрим наиболее интересные примеры решения систем ОДУ: экологическую модель «хищник - жертва», некоторые виды динамических систем, а также движение ракеты в поле тяготения небесных тел. Пример 14.12. Модель -хищник — жертва» (Лотки-Вольтерра) Модель «хищник - жертва» была предложена независимо друг от друга американским физиком Альфредом Легкой в 1925 году и итальянским математиком Вито Вольтерра в 1926 году. Она описывает эволюцию численности взшшодействующих популяций хищников и жертн на протяжении определенного промежутка времени. Рассмотрим количественные изменения, происходящие в популяциях рысей и зайцев. Зайцы, питаясь растительностью, размножаются с постоянной скоростью А, в результате чего юс численность возрастает: ~х(0=Ах dt Рыси поедают зайцев, что уменьшает их числешюсть, причем скорость этого процесса By пропорций нальна количеству хищников у: !Lx(t)=-Bxy dt Обгдая динамика популяции зайцея описывается уравнением: —ф) =Ах - Вху dt В результате количество зайцев становится настолько большим, что приводит к резкому увеличению количества рысей. Популяция хищника растет пропорционально имеющейся добыче: У(0 = Вху dt Умирают рыси естественной смертью или под влиянием внешних факторов: -У(1)=-Су В итоге количество хищников определяется уравнением —y(t) =-Су + Вху dt На определенном этапе рысей становится так много, что количество зайцев быстро уменьшается вследствие интенсивного поедания киношками. Резкое сокращение запасов пищи вызывает снижение численности рысей, что возобновляет рост популяции зайцев. В конечном счете, процесс повторяется заново. Ниже приведено решение и фазовые портреты полученной системы уравнений для двух начальных условий (рис. 14.9). (А G(t,У) := -Су А:= 1.5 У + By у0-в о h В:= 1 "1 " о ij rl :=rknxed(yO, 0,100,5000,G) с--г 10 5 3 нз У0:= r2 г= rfcfixed (yl .0,100,5000, G) г! ш
 Рис. 14.9. Колебания численности двух взаимодействующих популяций (кривые решений и фазовый портрет) В критических точках при lx(t)=0 dt скорость размножения зайцев равна скорости их поедания хищниками, при !,<„.<, рождаемость рысеД равна их смертности. Конечно, модель Лотки- Вольтере* является идеализированной. Несмотря на это. она широко применяется не только в экологии, поскольку удивительно точно описывает периодические процессы, происходящие в природе. Приведенный пример демонстрирует биологические колебания. С таким же успехом можно моделировать и химические колебания, например периодические реакции. Чтобы визуализировать результаты решения системы дифференциальных уравнений (см. рис. (4.9). из нолучешюЙ с помощью встроенной функции матрицы следует выделить столбцы переменной и интересующей вас функции в виде отдельных векторов. Сделать это можно, используя специальный матричный оператор Matrix Column (Матричный столбец), вызываемый сочетанием клавиш Ctrl+6 непосредственно в соответствующих маркерах графической области. В том случае, если вам нужно узнать значение функции решения в одной из точек, то либо непосредственно найдите нужный рядок и таблице с помощью строк прокрутки, либо используйте стандартную для Mathcad форму вывода с применением матричных индексов (при этом нужно учитывать, что точек. В которых были вычислены величины функции корней, на одну больше, чем было задано шагов). Пример 14.13. Аттрактор Лоренца В 1963 году Лоренц, занимаясь исследованием конвективных потоков воздуха, описал трехмерную динамическую систему, которая вызвала большой интерес благодаря непредсказуемости своего состояния, Поведение траекторий такой системы крайне нерегулярно, но со временем они притягиваются к некоему устойчивому множеству, которое получило название хаотического аттрактора Лоренца, или странного аттрактора. Аттрактор (от англ. to attract — притягивать) существует в некоторой области фазового пространства, координаты которого определяются системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка со строгим набором параметров и начальных условий. Система описывает вызванное тепловой конвекцией турбулентное течение жидкости в тороидальном сосуде, расположенном вертикально (рнс. НЛО). 0 ... 143 144 145 146 147 148 149 ... 177 |
