Раздел: Документация
0 ... 146 147 148 149 150 151 152 ... 177 Пример 14.17. Движение ракеты в поле тяготения небесных тел Согласно открытому Ньютоном закону всемирного тяготения, все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними (в данном случае объекты рассматриваются как материальные точки, то есть размерами тел по сравнению с расстоянием между ними можно пренебречь): шМ F = G- R2 В нашем случае m — масса ракеты. М - масса планеты, R - расстояние между ними. G — гравн тационнжя постоянная (чтобы не оперировать большими величинами масс и расстояний, не будем учитывать ее н примере, поскольку на характер зависимости это никакие повлияет). С другой стороны, второй закон Ньютона гласит, что шла есть не что иное, как произведение массы тела на его ускорение: Приравняв выражения н отбросив G, получим: М а = - Г Используя теорему Пифагора, несложно показать, что расстояние R между двумя точками с координатами (х. у, г) и (xt. ft, i\) определяется следующим выражением: *)2 + (y]-y)2 + (zl-*}2 Для упрощения расчетов найдем проекции вектора ускорения а на координатные оси х, у, г. Чтобы наглядно представить все рассуждения, начертим вспомогательную схему (рис. 14.14). Й-»< СО! 1 -V Рис. 14.14. Схема нахождения проекции вектора ускорения а на ось х Проекция расстояния R между ракетой и лланетоП М является катетом прямоугольного треугольника Мх1х(<м. рис, 14.14), а само расстояние - гипотенузой. Поскольку косинус угла есть отношение прилежащего катета к пшотенуэе, то проекцию вектора а мы можем найти как axsacos(a) Подставим в полученную формулу выражение для а к воспользуемся определением косинуса, и результате получим М (х 1 - X) , M-(xl-x) ах TI D [j(xl-x)2 + (yl-y)2 + (zl-z)2] Абсолютно аналогичные выражения можно записать и для проекций вектора а на оси у и г. Полученная нами зависимость описывает траекторию полета ракеты в поле тяготения одной планеты. В случае же нескольких планет необходимо учитывать принцип суперпозиции гравн- тационных полей. Согласно атому принципу гравитационное поле, создаваемое массой, действует вне зависимости от наличия других масс. Другими словами. гравитационные поля, возбуждаемые несколькими небесными телами, накладываются друг на друга, оставаясь при этом неизменными, и управляют движением как искусственных, так и естественных тел в космическом пространстве. В нашем примере ноле тяготения каждой планеты будет вносить вклад в ускорение ракеты. Сумма же этих вкладов и будет результирующим ускорением. В дифференциальной форме для составляющей вектора ускорения по оси х сказанное выше запишется как: А 77 Мг(х1-х) М2-(х2-х) Мп(хл- х) По такому же принципу составляются уравнения и для проекций вектора а по осям у и г. Теперь, когда даны необКодимыетеоретические пояснения, приступим к решению полученной системы дифференциальных уравнений. Траектория полета определяется рядом факторов, важнейшие из которых — начальная скорость ракеты, масса, координаты планет, а также их количество. Варьируя зги параметры, рассмотрим особенности траектории ракеты в наиболее интересных случаях. Начнем рассмотрен незадач и с простейшего стучал, когда ракета, имеющая нулевую начальную скорость, движется в направлении одной планеты. Если начальная скорость ракеты равна нулю, то она будет двигаться в направлении планеты по прямой линии. Аналогичная траектория будет наблюдаться и в том случае, когда начальная скорость ракеты направлена точно к центру планеты. Изучая траекторию движения ракеты, мы будем увеличивать количество планет до пяти, поэтому для задания масс и координат планет но мере их увеличения воспользуемся таблицами ввода данных (в общем случае количество планет может быть произвольным). В данном примере приводятся дифференциальные уравнения для универсальной модели, описывающей движение ракеты я пиле тяготения п планет. Еслн же задать в таблице параметры одной планеты, то решение найдено не будет, поскольку для корректной работы модели массы 11 координаты должны быть представлены п форме векторов, что возможно, когда минимальное количество планет равно двум. Поэтому добавим в систему еще одну планету малой массы, влиянием которой на движете ракеты можно пренебречь.
Определяем коордтюты исходной точки и а кланл я к >щие скорости ракеты iro осям х, у. г. Vx:=0Vy :=0 Уг:=0 х0:=0у0:=0z0:=0 Вводим ключевое слово Given, начальные условия и общие уравнения движения. Given х<0)= хО у(о)=уо z(0) = z0 х(0) = Vx Y(0) = Vy z(0) = Vz 2lasl{x) 1=0 м di dt Ы{у) Еу(0 - X J(x. - *t))2 + (у, - y{t))2 + (zj - z(t))2 Mr(y. - y(t)) i = 0 lasl(z) J(v<,))2-(>i->)2+(zi-*>)1 м-ад) °[j(v«0H-«>)2 + (v<l Находим решение системы R:= Odesolvd У К*/ ,t. 150,4000 Чтобы вое пользоваться функцией CreaceSpace для визуализации решения, зададим входящий в нее параметр — вектор-функцию ?• x . — Rqy! — R2 — R F(t) := VfO В том, что система была решена нами верно, легко убедиться, взглянув на рис. 14.15.  CK.y..C"ats3p»c«(F,0.3C,2JfflJj Рис. 14.15. Траектория движения ракеты в гравитационном поле одной планеты при нулевой начальной скорости 0 ... 146 147 148 149 150 151 152 ... 177
|
